где: – угол отклонения маятника, А – амплитуда колебаний , = () – фаза колебаний, – начальная фаза, т.е. значение фазы в начальный момент времени t = 0, – циклическая частота колебаний, t – время. [1] Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:
При малом угле отклонения с хорошей точностью значение синуса можно заменить на значение угла, при условии, что угол выражен в радианах. Например, сравним sin 50 0,087156 и 0,087266. Видно, что разница Δ = 0,00011. Таким образом, если угол < 50 и выражен в радианах, то абсолютная погрешность такой замены составляет 0,1% . [2] В результате замены мы получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
его аналитическое решение является формула :
Анализ аналитического решения дифференциального уравнения колебаний математического маятника, при условии > 50, сложен, поэтому наиболее целесообразным будет прибегнуть к нахождению решения численными методами. Для решения дифференциальных уравнений Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений. [3] Встроенная функция odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной. В отличие от других функций библиотеки Differential Equation Solving, odesolve решает дифференциальные уравнения, записанные в общепринятой математической литературе в виде задачи Коши. [4] С помощью данной функции было получено графическое решение уравнения для семи функций с произвольно взятыми углами, равными и превышающими значение 50.
Рис. 1. График гармонического колебания и исследуемых колебаний, при начальных углах отклонения 100, 150, 200, 250, 300
Даля анализа исследуемых колебаний построим на одном графике гармоническую функцию данной амплитуды и исследуемый график.
Рис. 2. Сравнение гармонической функциис графиком исследуемых колебаний , при начальном угле отклонения = 100.
Рис. 3. Сравнение гармонической функциис графиком исследуемых колебаний , при начальном угле отклонения = 200.
Рис. 4. Сравнение гармонической функциис графиком исследуемых колебаний , при начальном угле отклонения = 300.
В результате математических вычислений, был рассчитан процент максимального отличия графика гармонических колебаний от графиков исследуемых колебаний. Результаты вычислений представлены в таблице 1.
Начальный угол отклонения , град. |
10 |
20 |
30 |
Время максимального различия, с. (T – это период колебаний маятника, с.) |
T/8 |
T/10 |
T/13 |
Процент максимального отклонения, % |
5.9 |
7.2 |
9.5 |
Экспериментально были получены данные о зависимости времени t совершения N = 30 полных колебаний математического маятника от начального угла отклонения при выбранной длине подвеса L = 1м, которые представлены в таблице 2.
Начальный угол отклонения , град. |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
Период 30 полных колебаний T, с |
1,960 |
1,963 |
1,980 |
2,023 |
2,026 |
2,030 |
Таблица 2. Соотношение показателей периода 30 колебаний с начальным углом отклонения маятника
По этим данным построим график отношений периода исследуемых колебаний к периоду гармонических колебаний, с использованием параметров и, где под будем иметь в виду угол отклонения, а это относительное отклонение периода исследуемых колебаний от периода гармонических колебаний, рассчитывается по формуле:
Где - это период гармонического колебания, - период исследуемых колебаний. Периода рассчитываемый по формуле:
Где 𝑔 = 9,81 ускорение свободного падения для Земли, L – длина математического маятника (1 метр);
Расчётная формула периода имеет вид:
Где t – это время 30 полных колебаний – это количество совершённых полных колебаний маятника.
Рис.5. График зависимости относительного отклонение, от начального угла отклонения .
При анализе данного графика можно сделать вывод, что с увеличением угла отклонения, период колебаний так же увеличивается.
На основании проделанной работы, а также с учетом абсолютной погрешности, которая в данной работе составляет, можно сделать вывод, что колебание математического маятника при начальном угле отклонения равном 100 , можно считать гармоническим, а при угле отклонения в 200 и 300 , колебания уже не будут считаться гармоническими.
Список использованной литературы и интернет ресурсов
[1] Геворкян Р.Г. Курс физики. Москва 1979 г. Глава 4. Стр.67
[2] Арсеньев А.Н., Ефимова А.А. Методическая разработка к выполнению лабораторных работ по теме колебания. Самара 2012 г. Приложение I. Стр.36
[3] www.exponenta.ru/soft/mathcad/learn/ode/ode.asp
[4] www.exponenta.ru/soft/mathcad/learn/ode/ode.asp#odesolve - ODESOLVE.