VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

На протяжении веков взаимодействие математики и экономики представляет собой одно из важнейших междисциплинарных направлений. Экономика еще со времен древности использует различные количественные характеристики и в связи с этим вобрала в себя огромное количество математических методов.

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора.

Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора , где = трехмерный вектор.

Экономической иллюстрацией n-мерного векторного пространства является пространство экономических благ (товаров). Под товаром следует понимать какое-либо благо или услугу, которые поступили в продажу в определенный момент времени в определенном месте. Предположим, что существует определенное число товаров n, где количества каждого из них, приобретенные покупателем, характеризуются набором товаров , при этом через обозначается количество i-го товара, приобретенного потребителем. Допустим, что все блага характеризуются свойством произвольной делимости, то есть может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Значит, все возможные наборы благ и услуг являются векторами пространства благ

Каждое благо имеет цену, причем все цены строго положительны. Допустим, что цена единицы i-го блага есть , тогда вектор - вектор цен. Для набора благ вектора цен  их скалярное произведение - число, называемое ценой набора или его стоимостью, и обозначается c(Z).

Пример 1. Пусть некоторая фабрика производит мужскую, женскую и детскую обувь. В этом случае годовой объем производства можно записать в виде вектора (M, W, С), где M – объем производства мужской обуви, W –женской и C – детской. Предположим, что объем производства в 2010 году составил . Допустим, что план на 2011 г. на 15% больше объема производства в 2010 г. Этот план представляет собой вектор . Пускай торговая фирма «Обувь для всей семьи» покупает одну четверть всей продукции фабрики, тогда в 2010 г. она приобрела .Предположим, что в области всего 4 обувные фабрики, объемы производства которых в 2010 г. были равны соответственно , , , . Тогда все 4 фабрики вместе произвели

, то есть 4700 пар мужской обуви, 5150 – женской и 2900 – детской.

Таким же образом можно составить вектор ассортимента, вектор расхода сырья, вектор затраты рабочего времени и т.д.

Понятие вектора широко применяется в модели расширяющейся экономики, которую в 1937 г. предложил американский математик Джон фон Нейман.

Рассмотрим экономическую модель фон Неймана в наиболее общем виде. Рассмотрим экономику, которая описывается парой (C,K), где C – пространство товаров, а K – множество процессов, которые перерабатывают определенные количества товаров в другие количества тех же товаров. Под товаром будем понимать первичные факторы производства (земля, труд) и сырье (нефть, уголь), а также конечные товары и услуги.

Предположим, что товаров n, тогда C есть неотрицательный ортант (подмножество n-мерного пространства, которое представляет собой пересечение всех полупространств, образованных условиями неотрицательности значений) n-мерного пространства. В основе множества производственных процессов K лежит конечное число процессов . Они называются базисными. Каждый такой базис представляет собой пару векторов из C. Смысл процесса заключается в том, что он «перерабатывает» вектор в вектор . По своему смыслу все векторы имеют неотрицательные значения. Если мы обозначим  и , то в результате получим, что технология данной модели описывается парой неотрицательных матриц: A – матрица затрат и B – матрица выпуска.

Сочетая базисные процессы, мы можем получить новые процессы. Например, возьмем неотрицательные числа , где i = 1,…,m и найдем новый производственный процесс , где затраты – это вектор , а выпуск – это вектор . Новый производственный процесс можно обозначить (AZ, BZ). Вектор-столбец - вектор интенсивностей. Полученное более обширное множество процессов можно обозначить за K.

Заметим, что базисные процессы соответствует реальным отраслям экономики, заводам и т.д., а каждый элемент – некий абстрактный процесс, который характеризует режим совместной работы данных отраслей, заводов и пр., где – вектор затрат, – вектор выпуска продукции.

Пример 2. Даны матрицы технологических процессов и , вектор цен и вектор первоначальных запасов . Необходимо найти интенсивность технологических процессов, который максимизируют стоимость выпуска продукции за одни производственный цикл, а также максимальную стоимость.

Решение: Пусть – вектор-столбец искомых интенсивностей. В этом случае для их нахождения имеем задачу линейного программирования:

или (в более понятной форме)

Решим данную задачу графическим методом. (Рис.1)

Точка максимума (0; 2,7) и максимальная стоимость

продукции, которая может быть

выпущена за один цикл, равна 170,7.

Список литературы:

1. Динамические линейные модели экономики модель динамического межотраслевого баланса и модель Неймана [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bestreferat.ru/, свободный. – Дата обращения (27.03.2016)

2. Васильева Е.Г. Применение линейной алгебры в экономике [Текст]: методическое пособие/Е.Г.Краснова, Л.И.Инхеева, М.Д.Улымжиев. – Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. – 11-15 с.

3. Малыхин В.И. Высшая математика [Текст]: учебное пособие/В.И.Малыхин. – Москва: ИНФРА-М, 2009. – 62-63 с.

Код для цитирования: Скопировать