VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Одной из основ экономического анализа является изучение экономических параметров и связей, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных.

Рассмотрим применение функций нескольких переменных на примере использования двух видов сырья.

Найдем значения величин используемого сырья (х, у), где завод – производитель получает максимальную прибыль, если известна зависимость выпуска продукции от затрат ресурсов (х, у), которая называется производственной функцией. Напомним, что производственной функциейназывается зависимость результата производственной деятельности – выпуска продукции и от обусловивших его факторов – затрат ресурсов , , …, . Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Применим к нашему примеру производственную функцию - функцию Ко6ба–Дугласа.Параметры и представляют собой частные эластичности выпуска продукции по отношению к затратам труда и капитала .

Производственная функция в денежном выражении равна доходу от использованных ресурсов

(p₁,p₂) – вектор цен на единицу ресурсов, где p₁=2, p₂=1/4.

– затраты на ресурсы, тогда функция прибыли равна

Для нахождения максимальной прибыли предприятия проведем анализ функции на экстремум.

По необходимому условию экстремума

Таким образом, исходя из данных нашей задачи, имеем:

Так же известен вектор цен (p₁,p₂) = (10,30)

Перемножая уравнения системы, найдем , и выраженную переменную подставим в первое уравнения для нахождения x.

Решением системы уравнений являются числа. Критическая точка имеет координаты .

Применим достаточное условие существование экстремума для функции двух переменных:

_{Найдем производные второго порядка целевой функции:}

Подставляя координаты точки А в производные второго порядка, убеждаемся, что достаточное условие выполняется и так как , то А является точкой максимума.

Использование функций нескольких переменных – широко применяемый для экономического анализа математический метод. Немаловажным для экономиста является решение задач на экстремум функции нескольких переменных, поскольку экономические задачи обычно зависят от многих факторов. Что мы и продемонтровали в условном примере.

Литература:

1.Экономико-математические методы и модели: учебное пособие// под редакцией С.И.Макарова-2-е изд, перераб и доп//-М:Кнорус, 2007-240с

1. Математика для экономистов: Задачник учебно-практическое пособие/ под редакцией С.И.Макарова и М.В.Мищенко/ М:-Кнорус-2008-360с

1. Уфимцева Л.И., Черкасова Т.Н: Математические модели некоторых стандартных задач в управлении предприятиями: Проблемы совершенствования организации производства и управления промышленными предприятиями – Межвузовский сборник научных трудов; выпуск 1 часть 2 – Самара изд-во СГЭУ, 2008-205-208с

1. Уфимцева Л.И., Севастьянова С.А., Курганова М.В. Оптимизация выпуска продукции предприятиями в условиях неопределенности: Межвузовский сборник научных трудов – Самара: изд-во СГЭУ, 2013- Вып.-1 - 166-171с.

Код для цитирования: Скопировать