В экономике очень часто требуется найти оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных.
Рассмотрим применение функций нескольких переменных на примере использования двух видов сырья.
Найдем значения величин используемого сырья (х, у), где завод – производитель получает максимальную прибыль, если известна зависимость выпуска продукции от затрат ресурсов (х, у), которая называется производственной функцией. Напомним, что производственной функциейназывается зависимость результата производственной деятельности – выпуска продукции и от обусловивших его факторов – затрат ресурсов , , …, . Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Применим к нашему примеру производственную функцию - функцию Ко6ба–Дугласа.Параметры и представляют собой частные эластичности выпуска продукции по отношению к затратам труда и капитала .
Производственная функция в денежном выражении равна доходу от использованных ресурсов
(p1,p2) – вектор цен на единицу ресурсов, где p1=2, p2=1/4.
– затраты на ресурсы, тогда функция прибыли равна
Для нахождения максимальной прибыли предприятия проведем анализ функции на экстремум.
По необходимому условию экстремума
Таким образом, исходя из данных нашей задачи, имеем:
Так же известен вектор цен (p1,p2) = (10,30)
Перемножая уравнения системы, найдем , и выраженную переменную подставим в первое уравнения для нахождения x.
Решением системы уравнений являются числа. Критическая точка имеет координаты .
Применим достаточное условие существование экстремума для функции двух переменных:
Найдем производные второго порядка целевой функции:
Подставляя координаты точки А в производные второго порядка, убеждаемся, что достаточное условие выполняется и так как , то А является точкой максимума.
Использование функций нескольких переменных – широко применяемый для экономического анализа математический метод. Немаловажным для экономиста является решение задач на экстремум функции нескольких переменных, поскольку экономические задачи обычно зависят от многих факторов. Что мы и продемонтровали в условном примере.
Литература:
1.Экономико-математические методы и модели: учебное пособие// под редакцией С.И.Макарова-2-е изд, перераб и доп//-М:Кнорус, 2007-240с
Математика для экономистов: Задачник учебно-практическое пособие/ под редакцией С.И.Макарова и М.В.Мищенко/ М:-Кнорус-2008-360с
Уфимцева Л.И., Черкасова Т.Н: Математические модели некоторых стандартных задач в управлении предприятиями: Проблемы совершенствования организации производства и управления промышленными предприятиями – Межвузовский сборник научных трудов; выпуск 1 часть 2 – Самара изд-во СГЭУ, 2008-205-208с
Уфимцева Л.И., Севастьянова С.А., Курганова М.В. Оптимизация выпуска продукции предприятиями в условиях неопределенности: Межвузовский сборник научных трудов – Самара: изд-во СГЭУ, 2013- Вып.-1 - 166-171с.