VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В различных областях техники, архитектуре так и в преподавании геометрии приходиться пользоваться изображениями пространственных фигур. В основе изображения фигур лежит метод параллельного проектирования, а также в некоторых случаях (например, в изобразительном искусстве) применяют метод центрального проектирования. Технические чертежи выполняются с применением (аксонометрии и эпюра Монжа) метода параллельного проектирования [1]. С каждым из этих методов работает соответствующий раздел геометрии: метод параллельного проектирования основывается теорией аффинных преобразований, метод центрального проектирования основывается теорией проективной геометрии [2]. Известно, что аффинную плоскость изображения можно представить в виде расширенной плоскости, если дополнить ее несобственными точками. Значит, плоскость изображения можно понимать как проективную плоскость. Тогда возникает вопрос: возможна ли проективная интерпретация построений, в частности, сечений многогранников методом параллельного проектирования? На наш взгляд вопрос представляется интересным не только с точки зрения преподавания такого раздела геометрии как «Методы изображений», но и с точки зрения выполнения технических чертежей, так как не редко в подобных работах требуется построение плоского сечения.

Предварительно напомним основные приемы решения элементарных задач на построение сечений многогранников и круглых тел при условии, что секущая плоскость задается конечным набором точек и отрезков (например, тремя точками). Одним из основных приемов решения таких задач является так называемый «Метод следов». При решении этим методом пользуются следом секущей плоскости на плоскости основания фигуры (рис.1). С другой стороны этот же прием может быть выполнен без построения следа секущей плоскости и может быть назван методом внутреннего проектирования: для фигур вида призм и цилиндра работает внутреннее параллельное проектирование, а для пирамид и конусов – внутреннее центральное проектирование. Имеются и другие способы построения сечений, в основе которого лежит геометрия параллельного проектирования [3].

Однако, все перечисленные методы построения сечений (метод следов, метод внутреннего проектирования и т.д.) имеют простую проективную интерпретацию, т.е. все эти методы составляют единый метод на расширенной плоскости. Для этого достаточно изучить конструкцию (рис. 1):- плоскость изображения, М – точка секущей плоскости, – плоскость основания, S – центр центрального проектирования , параллельное проектирование на плоскости обозначено и .

Рис.1

Тогда очевидно, что на расширенной плоскости определена гомология с осью х' и центром . В самом деле, если – изображение точки сечения (аксонометрическая проекция М), – изображение проекции, то есть образ при некоторой гомологии с осью х', где х' – след секущей плоскости. Здесь гомология представляется как композиция трех преобразований сохраняющих сложное отношение четырех точек, где – проектирование секущей плоскости на плоскость основания. Следовательно, для призм и цилиндрических поверхностей методы построения сечения основаны на свойствах родства (гомологии с несобственным центром), а для пирамид и конических поверхностей – на свойствах гомологии расширенной плоскости. С другой стороны все эти методы можно рассматривать как приложение известной теоремы Дезарга.

Литература

1. В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. Курс начертательной геометрии: Учебное пособие для высших технических заведений / Под редакцией В.О.Гордона, Ю.Б. Иванова.– 29-е изд., стер.–М.: Высшая школа, 2009.–270 с.:ил.

2. Атанасян Л.С., Базылев В. Т. Геометрия. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.2.– 2-е изд., стер.–М.: КноРус, 2011.–352 с.:ил.

3. Бобровская А.В. Наглядная стереометрия в теории, задачах, чертежах / А.В.Бобровская.– Ростов н/Д: Феникс, 2013.– 167с.

4. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. Учебное пособие, 8-е идание.–М.: Просвещение, 1969.–368 с.:ил.

Код для цитирования: Скопировать