VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Проведём исследование свойства вырожденности квадратной матрицы, элементы которой составлены из последовательных чисел «золотого сечения». С этой целью рассмотрим сначала указанное свойство для последовательности чисел Фибоначчи.

Практически любой студент знает, что такое последовательность чисел Фибоначчи и как она строится. Составим программу ([1]) заполнения квадратной матрицы соответствующим количеством элементов последовательности чисел Фибоначчи.

Для проверки полученного факта были заданы самые различные значения параметров, как-то: с какого номера начать линейный массив членов последовательности и сколько элементов взять. Рядом с функцией пользователя справа приведёна одна из многих проб с начальным элементом – fib₁ = 1 и количеством членов 16 = 4² , для того, чтобы получилась квадратная матрица размерностью 4 (задано число 19, которое в программе уточняется).

Рассмотрим ещё один вариант запуска функции пользователя с другими параметрами.

j:=f2(3,28)

 

 

Используем приведенный выше результат для некоторых изменений в строках и столбцах матрицы: ниже слева один из столбцов (2-й) заменили членами убывающей арифметической прогрессии, справа – одна из строк (2-я) заменена членами убывающей геометрической прогрессии. Но результат всё тот же – значение определителя нуль, т.е. матрица вырождена!

В случае слева – значение –4,717  10^–11 нужно понимать как очень мало отличающееся от нуля, кроме того, символьное вычисление определителя выдало нуль.

Но ещё более интересный результат получается, если рассмотреть исходную матрицу и изменить в ней, к примеру, 2-й столбец произвольными числами (!). Или, к примеру, 3-ю строку также произвольными числами.

Отметим, что на значение определителя, состоящего из членов последовательности чисел Фибоначчи, не влияет замена какой-либо строки (столбца) на произвольные числа.

По результатам экспериментов можем сделать следующий важный вывод, касающийся последовательности чисел Фибоначчи: при расчёте определителей любого порядка, начиная с 3-го, наблюдаются закономерности:

А) при заполнении элементов квадратной матрицы последовательными членами последовательности чисел Фибоначчи, начиная с любого номера, получаем определитель равный нулю;

Б) при заполнении элементов квадратной матрицы последовательными членами последовательности чисел Фибоначчи, начиная с любого номера, но с измененной какой-либо строкой (столбцом) на произвольные числа, получаем определитель равный нулю.

Рассмотрим, далее, как соотносятся между собой соседние числа в четвёртой строке (самый первый результат – справа от программы). Очевидно, что отношения между ними «почти» равны. Полученное ([1]) наводит на мысль, почему определитель матрицы получается равным 0.

Интересно, что значения отношений соседних чисел Фибоначчи «почти» совпадает со значением золотого числа [2].

Но пойдём дальше. Посмотрим, как соотносятся соответствующие элементы матрицы построчно, т.е. чему равны отношения соответствующих элементов в двух строках - четвёртой и третьей. Учитывая, что указанные отношения «почти» равны, становится ясно, почему определитель рассматриваемой матрицы равен 0.

Этот результат на первый взгляд удивителен, но последняя строка вычислений (отношения соответствующих элементов матрицы в двух строках) наглядно показывает пропорциональность между строками (одно из основных свойств определителя).

Легко проверить, что если в квадратную матрицу любого размера, начиная с 3-го записать последовательно числа, представляющие собой последовательность чисел золотого сечения, то получим матрицу, определитель которой равен 0.

Если о связи чисел Фибоначчи с последовательностью чисел золотого сечения уже довольно-таки давно известно, то тот факт, что квадратные матрицы, составленные из последовательных чисел указанных последовательностей, имеют определитель равный 0 никому не был известен. Этот удивительный факт был «вскрыт» ([1]) студентом Смольняковым И.М. совместно с одним из авторов настоящей статьи, далее мы провели дополнительные исследования для выяснения поведения указанных последовательностей.

Список литературы

1. Смольняков И.М., Часов К.В. Последовательность чисел Фибоначчи и золотое сечение // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – №5-4. – С. 580-582. URL: www.eduherald.ru/138-13969 (дата обращения: 15.01.2016)

2. Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82% D0%BE%D0%B5 _%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 (дата обращения: 12.01.2016).

Код для цитирования: Скопировать