VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Развитие областей науки и техники существенно зависят от развития различных направлений математики. В настоящее время математика становится средством решения проблем организации производства, помогает в поиске оптимальных решений, что содействует повышению производительности труда.

Многие прикладные задачи сводятся к исследованию функции на экстремум. В частности, в экономической теории задача математического программирования часто сводится к задаче на условный экстремум. Одним из наиболее удобных способов поиска экстремума функции при наличии ограничений на ее переменные, т.е. решения задачи условной оптимизации, является метод множителей Лагранжа. Основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной.

Ниже рассматривается задача о нахождении условного экстремума функции нескольких переменных .

Задача. Найти наименьшее значение выражения при условии связи .

Решение будем искать методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в этом случае принимает вид:

.

Для нахождения стационарных точек составляем систему уравнений:

(1)

Складывая первое уравнение системы (1) со вторым, а третье уравнение - с четвертым, получаем следующую систему:

(2)

Отсюда имеем:

(3)

Из системы (3), выражая :

, ,

получаем соотношение

.

Отсюда имеем

. (4)

Подставляя соотношение (4) в третье уравнение системы (3), находим:

, .

Далее из системы (3) получаем два решения системы (1):

Поскольку , то при имеем и является точкой условного максимума, при и - точка условного минимума. Итак, минимальное значение выражения .

Литература

1. Бутузов В.Ф., Крутицкий Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах: Уч. пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова, 6-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2008.- С. 261 – 264.

Код для цитирования: Скопировать