VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Страхование жизни выгодно для страховых компаний тем, что денежные средства (взносы) находятся в национальном финансовом кругообороте достаточно долгое время.

В теории страхования выведена упрощённая формула для расчёта месячной брутто-премии по страхованию детей с месячными взносами и выплатами. И она имеет следующий вид:

nT_x^(м,б)= , (1)

Где

M_x – коммутационное число,

N– коммутационное число,

R_x – это коммутационное число,

n – длительность страхового договора,

x – возраст застрахованного на дату заключения страхового договора,

S₁ – страховая сумма на дожитие, S₂ – страховое пособие на случай смерти,

f – доля нагрузки,

l_x– число доживших до возраста x согласно таблице жизни,

d_x – число умерших при переходе от возраста x к возрасту x+1 [1],

nT_x^(м,б) – ежемесячная брутто-премия при смешанном страховании жизни детей от возраста x лет на срок n лет.

Упрощение при выводе формулы (1) состоит в том, что

• даты смерти умерших в течение года из числа застрахованных концентрируются в конце каждого отчётного года;

• все месячные взносы так же концентрируются в конце отчетного года.

Далее рассчитаем уточнённую формулу.

Изобразим поток наличности (рисунок 1) более адаптированный к реальному распределению денежных средств.

B_1B2B12 В D

… …

0

0 1/12 … 11/12 1 … n-1/12 n t

C₁ C₁₂ C

Рисунок 1 – Уточнённый денежный поток

Здесь B1= nT_x^(м,н)l_x, B₂=nT_x^(м,н)(l_x-), B12= nT_x^(м,н)(l_x-),

(S₂+nT_x(^м,б)),,С₁₂ = (S₂+11nT_x(^м,б))

D= S₁l_x+n

D – выплаты дожившим до возраста x+n;

B₁, B₂, B₁₂ – ежемесячные нетто-взносы в течение первого года;

C₁, C₂, …, C₁₂ –ежемесячные выплаты в течение первого года;

B – последний месячный взнос;

С – последняя месячная выплата;

nT_x^(м,н) – ежемесячная нетто-премия при смешанном страховании жизни детей от возраста х лет на срок n лет.

Предполагается, что даты смерти распределены равномерно в пределах одного года и сконцентрированы в конце каждого месяца. Здесь используется льготный характер страхования детей, когда в случае смерти застрахованного выплачивается не только страховое пособие, но и возвращается страхователю уплаченная часть страховых взносов.

В расчёте по упрощённой схеме использовались сложные проценты с единицей измерения времени 1 год и заданной согласно лицензии процентной ставкой i процентов в год. В уточнённой схеме сложные проценты невозможно использовать, так как платежи чередуются помесячно. Для этого нужно ввести силу процента δ эквивалентную процентной ставке i и дисконтирующий множитель V(t)=e^-δt.

Связь между i и δ определяется по формуле 1+i=e^δ.

С помощью силы процента в схеме непрерывных процентов можно дисконтировать денежную сумму на любой промежуток времени. После получения окончательного ответа, сила процента δ заменяется на эквивалентную ей заданную процентную ставку i.

Современная стоимость денежного потока за первый год будет выглядеть следующим образом:

A₁(0)=B₁+B₂*e^-δ/12+…+B₁₂*e^δ(-11/12)-С₁e^-δ/12-…-C₁₂e^-δ,

т. е.

A₁(0)= _xTn(^м,б)(1-f)[l_xI₁-I₂]-S₂(+…+e^-δ)-

-nT_x(^м,б)I₂= _xTn(^м,б)[(1-f)( l_xI₁-I₂)-I₂]-S₂I₃;

I₁=1++…+= , I₃=+…+ e^-δ=;

I₂=+…+11.

Здесь воспользовались формулой nT_x^(м,н)=(1-f)nT_x^(м,б) и формулами суммы геометрической прогрессии для I₁ и I₃ и суммы арифметико-геометрической прогрессии для I₂. Аналогично за последний год современная стоимость денежного потока определяется формулой

An(0)=_xTn^(м,б)(1-f)(l_x+n-1e^-δ(n-1) I₁-I₂ e^-δ(n-1))- S₂I₃-_xTn^(м,б)е^-δ(n-1)I₂-S₁*e^-δnl_x+n.

В силу принципа эквивалентности финансовых обязательств сторон современная стоимость A(0) всего денежного потока равна нулю, т. е.

A(0)=A₁(0)+…+An(0)=0

или

_xTn(^м,б)[(1-f)I₁(l_x+l_x+1*e^-δ+…+l_x+n-1*e^-δ(n-1)-…-(1-f)(d_x+d_x+1*

*e^-δ+…+d_x+n-1*e^-δ(n-1))-(d_x+…+d_x+n-1*e^-δ(n-1)]-S₁*e^-δnl_x+n=0.

Умножая последнее равенство на величину e^-δx и пользуясь формулами для коммутационных чисел, преобразуем его к виду

_xTn(^м,б)[(1-f) I_1(Nx-N_x+n)-(1-f)*(M_x-M_x+n)]-I₃*(M_x-M_x+n)- -S₁D_x+n=0.

Из последнего равенства вычисляем

_xTn^(м,б)=.

Теперь нужно выяснить, чему равна погрешность брутто-премии при расчёте с помощью двух формул, упрощённой и уточнённой.

Для этого рассмотрим задачу:

найти страховую премию по страхованию детей от возраста 8 лет на срок 12 лет c ежемесячными взносами, если норма доходности 8%, доля нагрузки 10%, страховая сумма 100000р., страховое пособие 80000р.

Решение.

Согласно упрощённой формуле (1) имеем

₁₂T₈^(м,б)= =

==492р.

Согласно таблице коммутационных чисел [1].

Уточнённый расчёт:

_xTn^(м,б)=

e^-δ=1/1+i=0.909,

I₁=1-0.909/1-0.992=11.375, I₂=-=47,

I₃=0.992-0.902/1-0.992=11.25,

_xTn^(м,б) == 517р.

Относительная погрешность изменения уточнённой формулы относительно упрощённой находится из равенства

Δ=

Для страховщика более выгоден уточнённый расчёт, так как брутто-премия больше, чем в упрощённом расчёте на 25р.

Литература и примечания:

[1] Бадюков В. Ф. Актуарные расчёты : учеб. пособие. Хабаровск, 2010. С.121

© К. В. Мусатова, В. Ф. Бадюков, 2016г.

7

Код для цитирования: Скопировать