VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Рассмотрим решение задачи номер 2.13из задачника по тепломассообмену под редакцией Цветкова Ф.Ф.

Для вычисления явной и неявной схемами я воспользовался компьютерной системой Mathcad. Для решения уравнения теплопроводности апросксимировал разностной схемой

Но при этом необходимо учитывать, что разностная схема устойчива при выполнение следующего на соотношение между шагами:

Далее приведена программа реализующая вычисление температурной сетки явной разностной схемой.

По условию задачи были известны коэфициенты теплопроводности a, плотность 𝜌, коэффициент теплопроводности λ. А также известны размеры прямоугольного сечения A и B , время T. Мною были выбраны размеры сетки M, N1, N2. А также проверено условие устойчивости

Заданы шаги χ, σ, τ(путем деления количества точек на размер введенной сетки). Были введены обозначения c и a. Используя оператор for двойным циклом ввел граничные условия задачи. Используя коэффициенты Λ1_i,j и Λ2_i,j апроксимировал используя разностную схему. При этом учитывается условие устойчивости , при не соблюдение которого узел заполняется ''0'' . При выполнение условия значение в узле рассчитывается через соседние узлы.

Далее были рассмотрены распределения температур в сечении бруса в различные моменты времени и построена в виде трехмерной поверхности в конечный момент времени для визуализации решения задачи.

Конечная сетка температур через 10 минут после начала охлаждения.

По использованию явной разностной схемы можно сделать следующие выводы: она просто записывается и реализуется на ЭВМ так как значения решения на каждом слое выражается явным образом через значения на предыдущем слое. Однако для обеспечения устойчивости шаг приходится выбирать слишком малым, что приводит к очень большому объему вычислений, что влечет накопление погрешности.

Так если рассмотреть решение задачи через 1000 секунд после начала охлаждение, то программа ведет все большее накопление погрешности и приводит к неверному результату.

От сюда и вытекает неэффективность решения уравнения теплопроводности явной схемой.

Код для цитирования: Скопировать