VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В настоящее время с помощью городских электрических сетей распределяется около половины, вырабатываемой в стране электроэнергии.

Источниками питания таких сетей являются электрические станции или подстанции, потребителями – промышленные, городские, сельскохозяйственные потребители электроэнергии.

При проектировании электрической сети требуется учет множества факторов и очень большого объема вычислений, поэтому актуальность составления оптимальной схемы электрической сети связана с необходимостью сокращения сроков, снижения трудоемкости и повышения качества проектных решений. Так же оптимизации подлежат затраты определяющиеся при построении электрической сети, состоящие из линий электропередачи, связывающих узлы источников питания с узлами потребителей.

А постоянное расширение сфер применения математического моделирования позволяет находить практическую применимость рассматриваемых методов при решении реальных задач.

Цель работы: рассмотреть возможность составления оптимальной схемы электрической сети с использованием методов математического моделирования.

В задачах электроэнергетики для составления оптимальных схем используется математический аппарат транспортной задачи.

Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется n узлов источников питания и m узлов потребителей. Мощность каждого из источников составляет A_i, а мощность каждого из потребителей – B_j единиц мощности (е. м.). Известно взаимное расположение узлов источников и потребителей, а также известна удельная стоимость Z_ij.

Затраты на электрическую сеть равны сумме произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от источников i к потребителям j. Поэтому подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид:

Для каждого источника питания сумма мощностей, оттекающих по линиям ко всем m узлам потребителей, равна мощности этого источника:

Для каждого потребителя сумма мощностей, притекающих по линиям от всех n источников, равна мощности этого потребителя:

Соотношения этих двух выражений, представляют собой балансы мощности в каждом из узлов и являются ограничениями при решении транспортной задачи.

В рассматриваемой постановке транспортной задачи все искомые мощности x_ij, передаваемые от источников к потребителям, являются неотрицательными. Следовательно, граничные условия имеют вид:

 

x_ij>0, I=1, 2, … n; j=1, 2, … m.

 

Данные выражения представляют собой математическую модель транспортной задачи.

Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют А₁ и А₂, а мощности потребителей – В₁, В₂ и В₃, е. м. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети на (рис. 1.).

Рис . 1. Взаимное расположение узлов и возможные линии

к сооружению электрической сети

 

Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей соответствуют значению z_ij.

Составляя математическую модель для решения данной задачи, изобразим транспортную матрицу размерностью 4x5 и будем заполнять ее в соответствии с алгоритмом минимальной удельной стоимости. Для решения используется табличный процессов Excel, потому что данная программа доступна многим пользователям и широко применяема, и ее могут использовать все те, кто сталкивается с необходимостью решения задач данного класса.

В матрице задаются известные значения (Рис.2.), далее выбирается клетка с минимальной удельной стоимостью.

В эту клетку в качестве базисной переменной заносится меньшее из двух значений мощностей x₁₁ = min (A₁ = 50, B₁ = 20) = 20. Баланс для 1-го столбца (1-го потребителя) выполнен (20 = 20). В остальные клетки этого столбца заносятся нули (свободная переменная x₂₁ = 0).

Поскольку от источника А₁ отобрано 20 е. м., мощность этого источника условно заменяется величиной 50 – 20 = 30.

Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы выбирается клетка с наименьшей удельной стоимостью. В качестве базисной переменной в эту клетку заносится меньшее из двух значений мощностей x₁₃ = min (A₁ = 30, B₃ = 35) = 30. Баланс для 1-й строки (1-го источника) выполнен. В остальные клетки этой строки заносим нули (свободная переменная x₁₂ = 0).

Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы выбираем клетку с наименьшей удельной стоимостью z₂₃ = 1,9.

В качестве базисной переменной в эту клетку заносится меньшее из двух значений мощностей x₂₃ = min (A₂ = 30, B₃ = 5) = 5. Баланс для 3-го столбца (3-го потребителя) выполнен.

Поскольку от источника А₂ отобрано 5 е. м., мощность этого источника условно заменяется величиной 30 – 5 = 25.

Последнее значение заносится в оставшуюся незаполненную клетку транспортной матрицы в качестве базисной переменной x₂₂ = 25.

Вся транспортная матрица заполнена. Балансы мощности по строкам (по узлам источников) и по столбцам (по узлам потребителей) выполняются. Все переменные неотрицательны. Полученное исходное решение является допустимым (Рис.3.). В этом решении есть свободные переменные и базисные переменные.

Рис.3. Полученные переменные

 

Тогда значение целевой функции определяется по формуле, представленной на слайде

Z = z₁₁·x₁₁ + z₁₂·x₁₂ + z₁₃·x₁₃ + z₂₁·x₂₁ + z₂₂·x₂₂ + z₂₃·x₂₃.

Подставляем в полученную формулу наши данные (Рис.4.).

 

Рис.4.

 

В результате получим 136 у. е. Данному допустимому решению соответствует следующая схема электрической сети (Рис.5.).

 

Рис.5.

 

При решении транспортной задачи методом потенциалов (Рис.6.), каждой строке и каждому столбцу транспортной матрицы присваивается свой потенциал: строкам – потенциалы V_i (i = 1, 2, ... n), столбцам – потенциалы U_j (j = 1, 2, ... m).

Эти потенциалы таковы, что для каждой базисной переменной сумма потенциалов равна удельной стоимости. V_i + U_j = z_ij.

Для получения одного из решений системы произвольно зададимся величиной одного из потенциалов, например U₁ = 1. После этого все остальные потенциалы однозначно определяем в соответствии с условием определения потенциала.

Рис.6. Метод потенциалов

 

Если для свободных переменных выполняется условие данное условие

Vi + Uj > zij, то перевод свободной переменной x_ij в базис уменьшает целевую функцию Z.

Проверим условие, уменьшающее целевую функцию для свободных переменных z₂₁ и z₁₂:

z₂₁ V₂ + U₁ = 0,6 + 1,0 = 1,6 = z₂₁ = 1,6.

z₁₂ V₁ + U₂ = 0,2 + 1,7 = 1,9 > z₁₂ = 1,8.

Свободную переменную х₁₂переведем в базис, поскольку этот перевод приведет к уменьшению целевой функции Z.

Для свободной переменной х₁₂строим цикл пересчета, и из вершин цикла выбирая базисную переменную х₂₂ = 25. Эта переменная перейдет в разряд свободных х₂₂ = 25-25=0, а переменная х₁₂ станет базисной х₁₂ = 0+25. В соответствии со знаками в вершинах цикла переменная х₁₃ уменьшиться на 25единиц, переменная x₂₃увеличится на 25. x₂₃ = 25 + 5 = 30. Получая следующие значения и затем, используя надстройку “Поиск решения” оптимизируем целевую функцию.

Полученное решение является оптимальным (Рис.8). Согласно теории графов, можно построить оптимальную схему электрической сети (Рис.10).

 

Рис.8. Оптимальное решение задачи

 

 

Рис.9. Оптимальная схема электрической сети

 

Таким образом, использование транспортной задачи позволяет разрабатывать оптимальные схемы электрических сетей. Данные методы обеспечивают необходимую надёжность электроснабжения, требуемое качество энергии, удобство эксплуатации сети, возможность подключения новых потребителей.

Применение компьютерных методов решения задач позволяет увеличить скорость принятия решений и повысить эффективность результатов. Поэтому требуются алгоритмы способные исполняться на массово доступных вычислительных средствах (персональных компьютерах и программах).

С учетом особенностей решения транспортных задач и использования табличного процессора MS Excel, процесс математического моделирования оптимальной схемы электрической сети является достаточно простым и доступным для любого специалиста в области электроэнергетики.

Литература

1. Сошинов, А.Г. Математические задачи электроэнергетики [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. Г. Сошинов, К. Н. Бахтиаров. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2012. – 48 с. URL: http://www.studmed.ru/toplivno-energeticheskiy-kompleks/matematicheskie-zadachi-energetiki/?page=2

Код для цитирования: Скопировать