VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Оглавление

Введение 3

§1. Возникновение логического способа решения 4

§ 2. Суть логического способа решения текстовых задач 5

§ 3. Примеры текстовых задач, решаемые логическим способом 9

Заключение 22

Список литературы 23

Введение

«Сколько раз я говорил вам, отбросьте все невозможное, тогда то, что останется, и будет ответом, каким бы невероятным он ни казался» – Шерлок Холмс.

Суть логического метода решения текстовых задач состоит в рассуждениях. В данной работе приведены примеры на каждый вид текстовых задач, решаемых логическим методом.

Задача – некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком (или решающей системой). Исследование задач удобно осуществлять с помощью логических рассуждений.

Объект: текстовая задача.

Предмет: логический способ решения текстовых задач.

Целью курсовой работы является рассмотрение и описание логического метода решения текстовых задач.

Задачи курсовой работы.

1. Охарактеризовать суть логического способа решения.

2. Рассмотреть этапы решения задачи.

3. Рассмотреть задачи на переливание.

4. Рассмотреть задачи на взвешивание.

5. Рассмотреть задачи на переправы.

6. Рассмотреть задачи на разъезды.

7. Рассмотреть задачи на дележи.

8. Рассмотреть задачи на движение.

9. Рассмотреть задачи, решаемые с помощью логических уравнений.

Методы исследования: анализ литературы, логический метод решения задач, систематизация, абстрагирование, конкретизация.

Работа состоит из введения, основной части (три параграфа), заключения, списка литературы (15 источников).

§1. Возникновение логического способа решения

Логика как наука появилась лишь в IV в. до н.э. благодаря великому греческому ученому Аристотелю (384 – 322гг. до н.э.). В дальнейшем эту науку стал развивать ирландский математик Дж. Буль (1815 – 1864гг.). В своих работах «Математический анализ логики» (1847г.) и «Законы мышления» (1854г.) Дж. Буль изложил мысль, которая заключалась в следующем: одно и то же алгебраическое уравнение может выражать вопросы геометрии, физики, теории чисел, механики и любой другой науки при разном разъяснении букв, входящих в уравнение. Если суждения или высказывания обозначать буквами, то уравнениями, которые получаются, можно разрешать вопросы истинности и ложности высказываний. Так возникла «алгебра логики» или «алгебра Буля». В дальнейшем алгебру логики развивали такие ученые, как П. С. Порецкий (1846 – 1907гг.), Бертран Рассел (1872 – 1970гг.), И. И. Жегалкин (1860 – 1947гг.), П. С. Новиков (1901 – 1975гг.), П. С. Эренфест (1880 – 1933гг.). [4, с. 23]

В алгебре логики высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Условимся истинность высказывания обозначать единицей (1), ложность – нулем (0), а само высказывание – «а». Любое высказывание «а» либо а=1, либо а=0.

Правила логических высказываний:

1.  
   1.  

      1. Сложение. Сумма двух высказываний а и b(записывается так а+b) является истинным (1), если хоть одно из высказываний истинно.

Сумма двух высказываний а и b(записывается так а+b) является ложным (0) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

1.  
   1.  

      1. Умножение. Произведение двух высказываний а и b (записывается так аb) является истинной (1) тогда и только тогда, когда оба высказывания истины.

Произведение двух высказываний а и b (записывается так аb) является ложным (0), если хоть одно из высказываний ложь. [6, с. 23]

В данном параграфе изложены имена прародителей логики как науки и вследствие зарождения основных логических правил, с помощью которых зародился логический способ решения текстовых задач.

§ 2. Суть логического способа решения текстовых задач

Текстовой задачей является описание некоторой ситуации (явления или процесса) на естественном и/или математическом языке с условием установить наличие или отсутствие какого-либо отношения между компонентами данной задачи или определить вид этого отношения. Либо дать количественную характеристику какого-то элемента заданной ситуации, либо установить последовательность требуемых действий. Иными словами, текстовая задача это словесная модель конкретной ситуации, явления, процесса, события и т.п. Как и в любой модели, в текстовой задаче рассказываются не все явления или события, а лишь их количественные и функциональные характеристики.

Пример 1. Расстояние между городами А и В равно 195 км. В одно и то же время из обоих городов навстречу друг другу выходят два мотоциклиста и едут до встречи 3 часа; после встречи мотоциклист из города А тратит на прохождение от места встречи до города В на 13/14 ч больше, чем второй мотоциклист, едущий из города В в город А. Определить скорость каждого мотоциклиста. [9, с. 23]

В задаче описывается движение двух мотоциклистов. Любое движение следующими величинами: скоростью, временем и путем (пройденным расстоянием). В данной задаче известно, что мотоциклисты проехали одинаковое расстояние, равное 195 км. Также указано время движения мотоциклистов до встречи. Еще известно, что один из мотоциклистов был в пути на 13/14 часа больше, чем другой. Требуется найти количественные характеристики скоростей движения двух мотоциклистов.

Основа текстовых задач состоит в том, что в них косвенно указывается какие действия необходимо выполнить для получения ответа на вопрос задачи.

В любой текстовой задаче можно выделить:

1) числовые значения величин, называющиеся данными, известными (их должно быть не менее двух);

2) систему функциональных зависимостей, связывающая искомые данные и данные между собой;

3) вопрос или требование, на который надо найти ответ.

Числовые данные и количественные и качественные характеристики данных величин задачи, называются условиями задачи. Обычно в задаче не одно, а несколько условий, которые называются элементарными.

Требование или вопрос могут быть изложены как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их тоже может быть несколько. Величину, которую требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин называют неизвестными или искомыми.

Чтобы выявить структуру задачи необходимо выделить ее условия и требования, иными словами, построить высказывательную модель задачи. Высказывательная модель задачи – система взаимосвязанных условий и требований.

Пример 2. Выделим условия и требования в задаче «Имеются три банки вместимостью 11; 7 и 5 литров. Одиннадцатилитровый сосуд полон кваса, а остальные пусты. Как, с помощью нескольких переливаний, и пользуясь только имеющимися банками, отмерить 8 литров кваса? »

Условия задачи:

1) имеются банки вместимостью 11; 7 и 5 л;

2) банки вместимостью 5 и 7 л пустые;

3) банка вместимостью 11 л полна кваса;

4) можно использовать только имеющиеся банки;

5) в результате переливаний в одиннадцатилитровом сосуде должно быть 8 литров кваса.

Требования задачи:

1) указать последовательность переливаний, в результате которых получится 8 л кваса.

В результате решения задачи получается ответ на вопрос или требование задачи. В широком смысле слова решить задачу значит раскрыть зависимости между величинами, которые заданы в условии задачи, а также определить последовательность применения общих положений математики: правил, логических рассуждений; применить подходящие действия и получить ответ на требование задачи.

Текстовую задачу можно решать различными методами: алгебраическим, арифметическим, геометрическим, практическим, логическим и др. [15, с. 24] Рассмотрим логический метод решения текстовых задач.

Решить задачу логическим методом это значит найти ответ на вопрос задачи. Обычно, используя логический метод, не делают никаких вычислений, все основывается на логических рассуждениях. План решения задачи обычно осуществляется устно, реже письменно. Для получения ответа на вопрос задачи строится алгоритм, представленный в виде блок-схемы, словесно и т.д.

Пример 3. Из девяти монет одна фальшивая (она легче остальных). Как за два взвешивания на чашечных весах определить фальшивую монету? [3, с. 23]

Решение. Алгоритм нахождения ответа оформим в виде блок-схемы (рис. 1).

В данном параграфе было рассмотрено определение текстовой задачи, на примере выделены условия и требования в текстовой задаче. Также был раскрыт логический способ решения текстовой задачи.

Рис. 1. Блок – схема решения задачи на нахождение фальшивой монеты

 

Начало

 

 

Положить на чаши весов по три монеты

 

 

Конец

Фальшивая монета (более легкая) на чаше, которая выше

Оставшаяся монета

фальшивая

Весы в равно- весии?

Из более легкой стопки положить на весы по одной монете на каждую чашу

Положить на две чаши весов по одной из оставшихся монет

Весы в равно- весии?

 

§ 3. Примеры текстовых задач, решаемые логическим способом

В своей работе я выделила семь видов текстовых задач, решаемых логическим методом. Это задачи:

• на переливания;

• на взвешивания;

• на переправы;

• на разъезды;

• на дележи;

• на движение;

• решаемые с помощью логических уравнений.

Задачи на переливания.

В задачах из этой группы обычно дается определенное количество жидкости, сосуды, чаще всего их три. Требуется с помощью переливаний и имеющихся сосудов получить определенное количество жидкости либо в одном из сосудов, либо равное количество в нескольких.

Как правило задачи на переливание решаются практическим методом или общими рассуждениями. Построим общий алгоритм для решения задачи на переливания.

Пример 4. Пусть имеются три сосуда объемом а,b и с литров, причем а>b>с, а=b+c. Сосуд наибольшего объема полон жидкости, которую необходимо разлить на две равные части. Введем обозначения: х и у – количество жидкости, которое содержится после каждого переливания в первом и втором сосудах соответственно. Тогда в третьем сосуде останется а – х – у литров жидкости. Числа х, у, а – х – у целые и удовлетворяют неравенствам:

На координатной плоскости хОу отметим точки, удовлетворяющие записанным условиям. Получился параллелограмм АВСD (рис. 2).

Точка В (а;0) показывает как была распределена жидкость изначально, а искомому распределению жидкости отвечает точка М(а/2;а/2). Процесс переливаний, которые проводились от распределения В до

Рис. 2 распределения М, представляют собой ряд точек

параллелограмма АВСD. Если соединить отрезками любые две соседние точки, то можно получить ломанную с началом в точке В и концом в точке М.

Видно, что распределению когда второй сосуд пустой отвечает отрезок АВ, а когда он полный – отрезок СD. Распределению когда третий сосуд пуст отвечает отрезок ВС, а когда полон – отрезок АD. Таким образом, вершины ломанной лежат на контуре параллелограмма АВСD.

При каждом переливании жидкости, количество ее в одном сосуде остается неизменным, возможны следующие случаи:

1) если в первом сосуде количество жидкости не меняется, то отрезок, соединяющий точки распределения до и после переливания жидкости, должен быть параллелен оси Оу;

2) если во втором сосуде количество жидкости не меняется, то отрезок, соединяющий точки распределения до и после переливания жидкости, должен быть параллелен оси Ох;

3) если третий сосуд не участвует в переливании жидкости, то в первых двух сосудах сохраняется количество жидкости х+у. Это значит, что отрезок, который соединяет точки распределения до и после переливания жидкости, должен быть параллелен отрезку ВС, в частности если третий сосуд полон, то отрезок является подмножеством отрезка АD, а если пуст – отрезка ВС.

Таким образом, любой отрезок ломанной линии либо параллелен оси Ох, либо параллелен оси Оу, либо параллелен отрезку ВС. Если третий сосуд полный (х+у=b), то переливание из первого сосуда во второй сосуд прекращается, когда х=0 и у=b, а переливание из второго сосуда в первый прекращается, когда х=b и у=0. Этим случаям соответствуют точки D и А. Аналогично можно установить, что если какой-либо отрезок ломаной линии является подмножеством стороны параллелограмма АВСD, то его конец обязательно совпадет с какой либо точкой, А, В,С или D.

Начальному моменту переливания соответствует точка В(а;0), а конечному – точка М(а/2;а/2), следовательно, если соединить точки В и М ломаной линией, вершины которой совпадают с контуром параллелограмма АВСD, а каждый отрезок этой ломаной либо параллелен одной из двух координатных осей, либо параллелен отрезку ВС. При том, если какой-либо отрезок ломаной является частью параллелограмма, то его конец должен совмещаться с его вершиной. [3, с. 23]

Используя систему координат можно с легкостью решать задачи на переливание жидкостей. Также можно использовать таблицу для получения ответа на требование задачи.

Пример 5. Имеются два сосуда объемом 3 л и 5 л. Как при помощи этих сосудов налить 4 л воды из водопроводного крана? [12, с. 23]

Решение. Поиск ответа на вопрос задачи начнем с конца. Необходимо, чтобы получилось 4 л воды. Для этого можно из 5-литрового сосуда отлить 1 литр воды. Это возможно сделать если в 3-литровом сосуде будет 2 литра воды. А это количество воды можно получить отлив из 5-литрового сосуда 3 литра воды. Рассмотрим процесс переливания воды в таблице 1, а.

Поиск ответа на вопрос можно было бы начать с доливания 1 литра воды к имеющимся 3 литрам воды. Рассмотрим процесс переливания воды в таблице 2, б.

Переливание	5 л	3 л
1-е –	5	0
2-е –	2	3
3-е –	2	0
4-е –	0	2
5-е –	5	2
6-е –	4	3

Табл. 1, а

Переливание	5 л	3 л
1-е –	0	3
2-е –	3	0
3-е –	3	3
4-е –	5	1
5-е –	0	1
6-е –	1	0
7-е –	1	3
8-е –	4	0

Табл. 1, б

Задачи на взвешивания

В задачах из этой группы за минимальной количество взвешиваний требуется:

1) среди имеющихся деталей определить фальшивую, обычно она отличается от настоящих по массе;

2) расположить предметы по массе в порядке убывания/возрастания;

3) выразить массу одних предметов через массу других предметов

По условиям задачи можно пользоваться только простыми двухчашечными весами, обычно без гирь. Такие весы позволяют установить какой предмет из сравниваемых тяжелее.

Пример 6. Из 80 одинаковых по внешнему виду монет, одна фальшивая. Как четырьмя взвешиваниями на простейших двухчашечных весах определить фальшивую монету? [3, с. 23]

Решение. Поиск ответа на требование задачи оформим в виде блок-схемы (рис. 3).

Рис. 3. Блок-схема

Начало

 

 

Положить на две чаши весов по 27 монет

 

 

Если да, то из оставшихся 3 монет положить на две чаши весов по одной монете

Если нет, то более легкая монета фальшивая

Если да, то оставшаяся монета фальшивая

Весы в равновесии?

Если нет, то из более легкой группы положить на две чаши весов по одной монете

Весы в равновесии?

Если да, то из оставшихся 9 монет положить на две чаши весов по одной монете

Если нет, то из более легкой группы положить на две чаши весов по 3 монеты

Положить на две чаши весов по 9 монет

Весы в равновесии?

Если да, то к оставшимся 26 монетам добавить одну монету из предыдущего взвешивания

Если нет, то из более легкой группы положить на две чаши весов по 9 монет

Весы в равновесии?

Конец

 

Также с помощью рассуждений можно распределить предметы в порядке убывания/возрастания массы.

Пример 7. Пять разных по массе предметов необходимо разложить по массе в порядке убывания. Можно использовать простейшие двухчашечные весы без гирь. Как нужно действовать, чтобы количество взвешиваний было минимальным?

Решение. Обозначим предметы и их массы следующим образом: А, В, С, D, Е. После первого и второго взвешивания установим, что А

Код для цитирования: Скопировать