VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Широкое использование алгебраического аппарата в школьном курсе геометрии, с одной стороны, расширило возможности учащихся в решении геометрических задач, с другой стороны, активное применение аналитических методов в геометрии нередко стало наносить урон формированию традиционных, чисто геометрических, умений и навыков школьников, тормозить развитию их пространственных представлений и воображения.

Отказ от теоретико-множественного подхода в школьном курсе математики привел к необходимости поиска новых путей установления связей между алгеброй и геометрией. Одним из таких путей является использование геометрического метода в алгебре. Усиление роли геометрии в среднем математическом образовании объясняется возросшей потребностью в развитии творческого мышления обучаемых, основными компонентами которого являются интуиция и воображение, неразрывно связанные с геометрическими представлениями и геометрическим методом.

В условиях ускорения научно-технического прогресса на основе информационных технологий геометрические знания необходимы каждому мыслящему человеку. В свое время академик А.Д. Александров писал по этому поводу: «Вся техника пронизана геометрией и начинается с геометрий, ибо всюду, где нужна малейшая точность размеров и формы, где нужна структурность взаимного расположения частей — там вступает в силу геометрия» [Александров, 1981, с. 58].

И действительно, на протяжении всей истории развития технической мысли геометрический метод решения задач являлся её важнейшей неотъемлемой частью. Геометрия сегодня всё больше выступает как метод познания и образ мышления. Геометрический язык используется не только в науке и технике, но и в повседневной жизни. На практике геометрические модели, отражающие лишь структуру оригинала, находят широкое применение в связи с проектированием сложнейших территориальных комплексов. Эти модели, построенные на основе геометрического подобия, позволяют решать задачи, связанные с оптимальным размещением объектов, прокладкой трубопроводов и т.п.

Велико значение геометрии и в развитии личности. Особенность геометрического метода, идущего от наглядных представлений, создает благоприятные возможности для формирования у учащихся таких профессионально значимых качеств, как пространственное воображение и логическое мышление [Александров, 1971, с. 313].

Как можно заметить, из выше изложенного, геометрический метод решения различных задач по алгебре является наиболее важным при развитии творческого мышления. В своей статье мы остановимся на одном из разделом алгебры – решение уравнений и их систем. В связи с чем целью нашего исследования являлась подборка уравнений и их систем, которые целесообразнее решать применяя геометрический метод решения задач. Приведем примеры таких задач.

Задача 1. Решить уравнение 2.

Решение

Конечно, это уравнение можно решить традиционным способом (например, двойным возведением обеих частей уравнения в квадрат), мы же на примере этого простого уравнения покажем алгоритм применения метода векторов.

Обозначим векторы: (2;1) и (). Тогда ||=,

||=

Скалярное произведение векторов =2 (по условию) и =||||сos = сos=5 сos. Приравниваем правые части, получаем: 5 сos=5, откуда сos0=1, т.е =0 , значит векторы и коллинеарны, значит их одноимённые координаты пропорциональны: ; или 2, отсюда, после возведения в квадрат, получаем:4(х+1)=4-х, 4х+4=4- х, 5х=15, х=3. Сделав проверку, убеждаемся, что х=3 – корень уравнения.

Задача 2. Решить уравнение sin3x + cos3x = 2

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами ВС = 1 и АС = (рис. 1). Тогда АВ = = 3.

Пусть А= φ, где φ – острый угол. Тогда

и .

Рис. 1.

Имеем .

_{Решая уравнение получим:}

Ответ:.

Задача 3. Решите систему уравнений

х + у = 2

х² + у² = 4

Решение.

ОДЗ: у ≥ 1 и х ≥ 1. Введем векторы (х,у), ( ; ).

Левая часть первого уравнения системы является скалярным произведением векторов и , т.е =х + у.

Определим длины этих векторов и их произведения:

││= , ││= ; ││∙││= ∙.

Из второго неравенства системы 2=, тогда ││∙││=2. Получили: =││∙││. Известно, что знак равенства в векторном неравенстве ≤││∙││ достигается тогда, когда векторы коллинеарны, т.е:

=

х² + у² = 4, т.е х = у =

Ответ: (

Задача 4. Указать количество целых значений параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение.

а) Отделим стационарную часть от содержащей параметр: , где - стационарная часть, – часть, содержащая параметр.

б) Пустьk=-a, тогда получим две функции: и . График первой из них «недвижим», график второй, проходя через начало отсчета, может располагаться в системе координат как угодно т. к. а – угловой коэффициент. Поэтому метод областей в данной задаче нецелесообразен, т.к. а – угловой коэффициент.

в) Рассмотрим (рис. 2) взаимное расположение графиков функций и (при этом возможные местоположения графика функции, заданной с параметром, в координатной плоскости изобразим пунктиром): при исходное уравнение имеет корни (очевидно), т.к. происходит пересечение графиков, контрольной при этом следует считать точку (-1;4), т.е. ; далее, при исходное уравнение корней иметь не будет (что и требуется по условию).

Рис. 2

г)

Ответ: .

Задача 5. При каком a система уравнений имеет ровно четыре решения?

Решение.

Построим линии, определяемые уравнениями системы (Рис. 3). Четыре решения могут быть только в двух случаях, когда a=R²=1, или a=r²=1/2.

Ответ: 1;1/2.

Рис. 3

Задача 6. При каких значениях a система уравнений

имеет единственное решение?

Решение.

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение x²+y²+ x+y=a, полученное из имеет единственное решение.

Преобразуем полученное уравнение:

x²+y²+ x +y=(x²+x+0,25)+(y²+y+0,25)-0,25-0,25=a

(x+0,5)²+(y+0,5)²=0,5+a (*)

Итак, уравнение (*) задает на плоскости окружность с центром(-0,5;0,5) и радиусом (Рис. 4).

Рис. 4

1) Если 0,5+а0,т.е. при , множество точек, задаваемых на плоскости уравнением (*), является окружностью с центром(-0,5;0,5) и . В этом случае уравнение (*), а, следовательно, и исходная система, имеет бесконечно много решений.

Ответ: .

В результате проведенного исследования было выяснено, что чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий. И для того, чтобы решить уравнения или их системы геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи, что, по нашему мнению является самым сложным в данном методе;

Библиографический список

1. Александров А. Д. Величины и фигуры. – Новосибирск: ИМ АН СССР, 1981. – 48 с

2. Александров А. Д. Геометрия // Большая советская энциклопедия. – т. 6. – М.: Наука, 1971. – С. 309 – 313.

Код для цитирования: Скопировать