VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

На практике экономиста встречаются задачи следующего вида, сводящиеся к задачам линейного программирования.

Виды задач линейного программирования:

1) задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии (задача об ассортименте);

2) задача на максимум выпуска продукции при заданном ассортименте;

3) задача о смесях (рационе, диете);

4) транспортная задача;

5) задача о рациональном использовании имеющихся мощностей;

6) задача о назначениях.

Для решения ЗЛП необходимо построить экономико-математическую модель исследуемого экономического процесса.

Рассмотрим линейное программирование на примере решения задачи на максимум выпуска продукции при заданном ассортименте с помощью программного обеспечения MS Excel.

Задача. Пусть в хозяйстве имеются следующие ресурсы: 2400 га пашни и 90000 чел.-ч. Наиболее эффективным для хозяйства является выращивание 3-х культур: озимой пшеницы, ячменя и картофеля, исходная информация по которым приведена в таблице 1. Площадь посева озимой пшеницы должна быть не менее 40 % посева зерновых культур, площадь картофеля – не менее 120 га и не более 160 га. Требуется определить оптимальный вариант структуры посевов данных культур, исходя из наличия имеющихся ресурсов и нормативов затрат, обязательных объемов реализации продукции с таким расчетом, чтобы общая прибыль в хозяйстве была максимальной.

Таблица 1 Исходная информация

Показатель	Культуры
	озимая пшеница	ячмень	картофель
Урожайность, ц/га	25	30	300
Уровень товарности продукции, %	80	80	70
Затраты труда, чел.-ч./га	22	19	300
Потребность удобрений на 1 га, ц д.в.	1,5	1,2	3,6
Гарантированный объем реализации продукции, ц	22000	14000	32000
Прибыль, руб./га	1000	720	6300

В ходе решения была построена экономико-математическая модель

1. х₁ + х₂ + х₃ ≤ 2400 –;ограничение по общей посевной площади, га;

2. 22х₁ + 19х₂ + 300х₃ – х₄ ≤ 90000 - ограничение по затратам труда, чел.-ч;

3. х₄ ≤ 5000 – ограничение по привлеченному труду, чел.-ч;

4. 1,5х₁ + 1,2х₂ + 3,6х₃ – х₅ = 0 – суммарные затраты удобрений, ц д.в.

5. 20х₁ ≥ 22000 – объем реализации озимой пшеницы, ц;

6. 24х₂ ≥ 14000 – объем реализации ячменя, ц;

7. 210х₃ ≥ 32000 – объем реализации картофеля, ц;

8. 0,6х₁ – 0,4х₂ – 0,4х₃ ≥ 0 – площадь посева озимой пшеницы не менее 40 % площади посева зерновых культур, га;

9. 120 ≤ х₃ ≤ 160 – площадь картофеля не менее 120 га и не более 160 га;

10. х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₄ ≥ 0, х₅ ≥ 0 – все переменные модели должны быть неотрицательными;

11. Z_max = 1000х₁ + 720х₂ + 6300х₃ – критерий оптимальности – максимум прибыли, целевая функция.

Данная числовая модель была решена с помощью программного обеспечения MS Excel, результат которой приведен ниже.

Оптимальная площадь озимой пшеницы составила

х₁ = 1658,5731 – площадь озимой пшеницы, га;

х₂ = 583,3333 – площадь ячменя, га;

х₃ = 158,0935 – площадь овса, га;

х₄ = 5000 – привлеченный труд в чел.-ч.;

х₅ = 3756,9964 – потребность в удобрениях, ц д.в.;

Z_max = 3074563 – максимальная прибыль, руб.

Проверим выполнение числовых ограничений. Для этого подставим найденные значения переменных в левую часть ограничений и сравним с правой частью.

1. 2400 = 2400 – посевная площадь израсходована полностью;

2. 90000 = 90000 – затраты на труд использованы полностью;

3. 5000 = 5000 – привлеченный труд использован полностью;

4. потребность в удобрениях равна 3757 ц д.в.;

5. объем реализации озимой пшеницы перевыполнен на 11171,46 ц;

6. объем реализации ячменя равен 1400 ц;

7. объем реализации картофеля превысил на 1171,462 ц;

8. площадь посева озимой пшеницы выполняется;

9. площадь картофеля входит в установленные рамки.

В результате чего, критерий оптимальности – максимум прибыли составил 3074562 руб.

Развитие информационных систем, совершенствование программного обеспечения компьютеров, распространение пакетов прикладных программ осуществляют доступность и наглядность современных методов решения экономико-математических задач более большему количеству пользователей, освобождая от проведения трудоемких расчетов.

Также опыт изучения математических дисциплин показывает необходимость использования табличного процессора MS Excel, одним из достоинств которого, является его простота в изучении и использовании, позволяющая одновременно с расчетами создавать документы в общепринятом виде.

Код для цитирования: Скопировать