VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Особенности развивающейся социальной практики предъявляют новые требования к качеству образования выпускника школы. В современных условиях выпускник должен обладать способностью творчески решать поставленные задачи, владеть комплексом алгоритмов для достижения поставленных целей, иметь проективные способности по поводу собственного профессионального становления.

В связи с этим, на современном этапе возрастает роль математики как учебной дисциплины, повышаются требования к математической подготовке школьников. Уровень математической подготовки учащихся нельзя считать удовлетворительным, если они не могут применить полученные знания к решению задач.

Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. С седьмого класса указанная дисциплина «распадается» на две: алгебру и геометрию. Геометрия – уникальный школьный предмет, внутри которого заложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Еще замечательный французский математик София Жермен (1776-1831) писала: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

Однако, как показало констатирующее исследование, учителя математики зачастую алгебру и геометрию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого. В то же время проведенный анализ учебной литературы показал, что многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи, позволяют сэкономить время и более наглядны. Многие задачи единого государственного экзамена по математике из части 2 можно решить геометрическим методом.

Исходя из выше сказанного цель нашего исследования: выявить основные пути взаимосвязи между алгеброй и геометрией и подобрать задачи по алгебре, которые быстро и легко решаются с помощью геометрического подхода.

Уже в курсе математики 5 класса учащиеся, встречаясь с понятием «величина» и различных частных ее числовых значений, осмысливают отвлеченную схему геометрическими образами. Сюда относятся разного рода диаграммы: линейные, прямоугольные, столбчатые, секторные. Длины рек и высоты гор изображаются отрезками надлежащей длины; добыча угля, железа и тому подобного по годам – прямоугольниками надлежащей высоты с равными основаниями; распределение земельных угодий, бюджет времени школьника и т. п. – секторами круга, пропорциональными центральным углам. На этом этапе учащиеся знакомятся с масштабом. В данной связи нужно упомянуть чтение и в особенности составление планов и карт, укрепляющих идею пропорциональности [Далингер, 1991].

В 7 классе, согласно программе, надлежит заниматься прямыми линиями; однако надо показывать в числе первых примеров также и простейшие криволинейные графики (например, обратную пропорциональность) было бы весьма желательно. По поводу прямых линий наиболее важно иметь в виду следующие замечания:

1.Требование метрической точности (наличие числового соответствия между предложенной задачей и чертежом) должно быть выполнено во всех случаях.

2. Следует уделять особое внимание наклону прямых. Под «наклоном» нужно понимать то же, что угловой коэффициент, т. е. тангенс угла, который прямая образует с осью Ох.

3. Необходимо добиться умения находить отрезки, которые прямая образует на координатных осях.

4. Наиболее трудным для усвоения является навык: провести прямую через две точки с заданными числовыми координатами. В уравнении у=ах+b буквенные коэффициенты а и b следует считать неизвестными и подбирать их значения в соответствии с требованиями задачи: получается линейная система.

После рассмотрения в 8 классе графика функции может быть в порядке обобщения рассмотрен график дробной линейной функции .

С числовыми коэффициентами; этот график строится учащимися по точкам в порядке упражнений. В результате построения учащиеся увидят, что график дробной линейной функции есть уже знакомая им кривая – гипербола. Вслед за этим учитель покажет учащимся, что построение графика дробной линейной функции легче выполнить после некоторых преобразований. Именно: для построения графика функции .

Предварительно выполняются следующие преобразования:

а) выделяется из дроби целая часть: ;

б) выносится за скобки коэффициент при х в знаменателе и записывается результат в виде: .

Теперь ясно видно, что график данной функции может быть получен из графика функции . Путем перенесения последнего вправо на единицы масштаба и вверх на единицы масштаба; асимптотами перенесенного графика будут служить прямые, полученные путем перенесения оси ординат и оси абсцисс соответственно на единицы масштаба вправо и на единицы масштаба вверх; поэтому построение графика данной функции сводится к построению графика функции , отнесенного к прямым и как к осям.

В 11 классе следует уделить внимание графикам показательной и логарифмической функции.

Преподаватель должен во время работы с графиками функций следить за правильным пониманием и активным употреблением учащимися терминов, относящихся к возрастанию и убыванию функций.

Задача. В игре «Зарница» участвовало 72% всех школьников города. Из числа участников 60% были мальчики, а остальные, на которых приходилось 9000 человек, – девочки. Сколько школьников не участвовало в игре?

Решение.

Данные задачи можно занести в таблицу (табл. 1).

Таблица 1

Данные задачи

	Участвовало 72%	Не участвовало 28%
Девочки Мальчики	40%—9000 60%—?

Обычный путь решения — найти количество участвовавших , из чего количество не участвующих может быть выведено путем умножения на .

Количество не участвовавших: = 8750.

Геометрия может сыграть очень важную роль здесь, объясняя метод пропорции таким образом (рис. 1, а): точка D делит [ВС] в «отношении 72 : 28; точка Е делит [AD] в отношении 60 : 40. Площадь BED – 9000 см². Найти площадь ADC. Площадь каждого треугольника на диаграмме представляет группу учащихся (в масштабе: 1 см² представляет 1 учащегося): SABE – представляет число мальчиков, SBED – представляет число девочек, SADC – представляет число не участвовавших в игре учащихся.

Эту ситуацию геометрически можно представить с помощью прямоугольников или параллелограммов (рис. 1, б). Этот квадрат получен из треугольника на рисунке (рис. 10, а, где каждый треугольник BAD и ADC достроен до прямоугольника [Генкин, 2001].

Специалисты [Березин. 1985; Вопросы преподавания …, 1961; Груденов, 1990; Методика преподавания …, 1985] подчеркивают, что нужно всеми существующими средствами обучать как студентов, так и школьников искусству доказывать, а также догадываться. Они считают, что необходимо научить молодежь думать. Данное искусство не приходит на основании полученного опыта. Конечно, ему надо обучаться, например, посредством решения математических задач. Так, одна из главных целей курса математики, изучаемой в средней школе, состоит в том, чтобы добиться развитии у всех обучающихся умения решать задачи.

В методике математике [Вопросы преподавания …, 1961; Методика преподавания …, 1985] принято выделять следующие три этапа: во-первых, исследование, во-вторых, формализация, в-третьих, усвоение, а также проверка результата.

Геометрическим называется метод, при котором поиск решения и само решение задачи выполнено с помощью построения геометрических объектов и измерения соответствующих величин.

Рассмотрим одну задачу, на примере которой посмотрим выполнение всех правил.

Задача. Из пунктов M и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них пришел в N через 1час 15мин после встречи, а другой - в M через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами M и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение.

1. Алгебраический метод.

1час15мин =ч=ч.

48 мин = ч=ч

Пусть x(км/ч) - скорость движения первого автомобиля, y(км/ч) - скорость движения второго автомобиля. Составим систему уравнений:

или

Как можно заметить, решение данной системы приведет к громоздким вычислениям и, потому, удобнее эту задачу решить, применяя знания из геометрии.

2. Геометрический метод (рис. 4).

Рис. 4

Составим графическую модель задачи

Рассмотрим две прямоугольные системы координат xMy и x'Ny', так как задача на встречное движение. Отрезок MN - изображение расстояния между пунктами M и N. MN' - график движения первого автомобиля, NM' - график движения второго автомобиля, причем MN'> NM'. Точка A - точка пересечения графиков соответствует моменту встречи автомобилей.

Решаем полученную задачу

Пусть x (км/ч) - путь, пройденный первым автомобилем до встречи, тогда (90-x)(км) - путь, пройденный до встречи вторым автомобилем. Используя чертеж и признак подобия треугольников (по трем углам), получаем:

M'CO ∞ BNO, поэтому ; (1)

MAC ∞ N'OB, поэтому , т.к. MC=NB, то . (2)

Из (1) и (2) следует, что или NB²=1, тогда NB=1.

Подставив в (1), получим: . (3)

Возвращаемся к языку исходной задачи

V₁=40км/ч, V₂=90-40=50(км/ч).

Ответ. Скорость первого автомобиля 40 км/ч, а скорость второго – 50 км/ч.

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств. Решить задачу алгебраическим методом - значит найти ответ на требование задачи, составив и решив одну из алгебраических структур.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

Задача. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см². Найти катеты.

Решение: Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так:

Прибавляя к первому уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: , откуда или или . Так как х и у – положительные числа, то . Из этого уравнения выразим у через х и подставим в одно из уравнений системы, например во второе:

Решим полученное уравнение:

Подставляя эти значения в формулу , находим , _. В обоих случаях один из катетов равен 5 см, другой 12 см.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.

Проведенное исследование показало его актуальность. Действительно, для эффективного обучения учащихся математике необходимо осуществлять взаимосвязь между алгеброй и геометрией, а это в первую очередь возможно благодаря решению задач по алгебре геометрическим способом, а по геометрии – алгебраическим.

Все поставленные задачи были решены, а именно:

1. На основе проведенного анализа психолого-педагогической и методической литературы выявлены основные пути осуществления взаимосвязи между алгеброй и геометрией.

2. Рассмотрена методика решения алгебраических задач с помощью геометрического материала и геометрических задач – с помощью алгебраического.

3. Подобраны задачи по алгебре, решаемые более эффективно геометрическим способом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1985. – 170 с.

2. Вопросы преподавания математики в средней школе: сборник статей. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1961. – 254 с.

3. Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач // Математика в школе. – 2001. – № 7. – С. 14-19.

4. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: книга для учителей. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.

5. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. – М.: Просвещение, 1991. – 82 с.

6. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика : учебное пособие для студентов пед. ин-тов / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

Код для цитирования: Скопировать