VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В своей работе я хотел показать математическое доказательство трёх утверждений, имеющий механический смысл свойства центра масс. В курсе физики эти свойства сформулированы в следующем виде.

1.Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.

2.Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется «золотым правилом механики»: произведение массы материальной точки на расстояние от неё до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. , где и - массы материальных точек, а и - расстояния от материальных точек до центра масс.

d₂

 

 

d₁

 

 

Z

 

 

A₂

A₁

 

 

m₂

m₁

 

Рис.1

3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

На основании трёх свойств дадим математическое определение центра масс.

Рассмотрим две материальные точки и и Z- их центр масс, тогда второе свойство запишется в виде = . Учитывая, что векторы и имеют противоположенные направления, получаем = - т.е.

= (1)

Чтобы выполнялись свойства 1 и 2, центром масс двух материальных точек и Z, для которой спроведливо равенство (1).

Пусть теперь даны три материальные точки , , и пусть Z- центр масс этой системы двух материальных точек. (свойство1). Обозначим через С центр масс двух материальных точек и . Тогда, согласно (1),

= (2)

Согласно свойству 3, центр масс всей системы , совпадает (рисунок 2) с центром масс двух материальных точек ( т.е согласно (1)

+ (3)

 

m₁A₁

 

 

(m₁+m₂)C

 

 

Z

m₃A₃

 

 

m₂A₂

 

Рис. 2

Но мы имеем

= +( -( -- ( +

(см. равенство (2)), и поэтому равенство (3) примет вид

= (4)

Итак, если мы хотим , чтобы выполнялось свойство 3, то центром масс трёх материальных точек , должна быть такая точка Z, что справедливо равенство (4). По аналогии можно рассмотреть, случай для четырёх и более точек.

Тогда вытекает определение центра масс.

Определение. Центром масс (барицентром) системы материальных точек , ,…,

называется точка Z, для которой имеет место равенство

= (4)

Докажем математически все три свойства , не связанные с физическими представлениями.

Теорема1. Если точка Z служит центром масс системы материальных точек , ,…,

То при любом выборе в пространстве точки О справедливо равенство

Доказательство: Рассмотрим для случая n=2.

Выберем произвольную точку О. Равенство

=

Можно переписать так

Расскрывая скобки и выражая , получим

Теорема 2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; положение определяется «золотым правилом механики»:

Доказательство:

Пусть - центр масс системы двух материальных точек , . Тогда в силу = , получим

=

т.е.. Из этого видно, что векторы и противоположно направлены, так что точка лежит внутри отрезка А₁А₂, причём = . Это есть «золотое правило механики».

Математически докажем справедливость свойства 3.

Теорема 3. Пусть в системе , ,…, , состоящей из n материальных точек отмечены k материальных точек , ,…, (рис.3) и пусть С-центр масс отмеченных материальных точек. Если всю массу отмеченных материальных точек сосредоточить в их центре масс С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится. Иначе говоря, система , ,…, имеет тот же центр масс, что и система материальных точек (

 

mn

 

 

m₂

m₁

 

 

m_k

C

Z

m_k+1

 

Рис. 3

Доказательство. Пусть Z – центр масс системы

, ,…, , т.е.

= .

Так как С – центр масс системы материальных точек , ,…, , то по теореме 1

Из последних двух равенств получим

(= ,

а это значит , что центром масс системы материальных точек

( является та же точка Z.

Код для цитирования: Скопировать