VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Модели массового обслуживания часто встречаются в нашей повседневной жизни. Мы сталкиваемся с ними буквально повсюду: очереди в ожидании обслуживания в кафе, очереди к кассе в магазине, в банке, парикмахерской, автомойке, на бензозаправочной станции и т. д.

Анализ процессов массового обслуживания даёт нам оценку влияния на режим функционирования системы таких показателей, как частота поступления заявок на обслуживание, время обслуживания поступающих заявок, количество и размещение различных компонентов обслуживающего комплекса и т. д.

Простейшей одноканальной модельюс вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

,

где λ – интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

Плотность распределения длительностей обслуживания:

,

где – интенсивность обслуживания,

t_об – среднее время обслуживания одного клиента.

Рассмотрим систему, работающую с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле:

.

Эта величина равна вероятности Р₀ того, что канал обслуживания свободен.

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:

Величина Р_отк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди всех поданных.

Пусть одноканальная система массового обслуживания (СМО) с отказами представляет собой одно место в очереди к кассе в банке. Заявка – посетитель, прибывший в момент, когда место занято, получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока прихода посетителей λ = 3 (чел./час). Средняя продолжительность обслуживания t_об= 0,6 часа.

Мы будем определять в установившемся режиме следующие предельные значения: относительную пропускную способность q; абсолютную пропускную способность А; вероятность отказа Р_отк.

Сравним фактическую пропускную способность системы массового обслуживания с номинальной пропускной способностью, которая была бы, если бы каждый посетитель обслуживался 0,6 часа, и очередь была бы непрерывной.

Вначале определим интенсивность потока обслуживания:

.

Вычислим относительную пропускную способность:

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 62,4% прибывающих человек.

Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,624 обслуживания человек в час.

Вычислим вероятность отказа:

Это означает, что около 37,6% прибывших посетителей на кассу получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы:

Исходя из данных расчётов, делаем вывод, что А_ном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учётом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Данная система работает неэффективно. Вероятность отказа слишком большая – 37 человек из 100 уйдут из банка не получив обслуживания. Это недопустимо. В такой ситуации есть несколько решений проблемы:

1. Добавить ещё один канал обслуживания, т.е. организовать двухканальную систему. Это позволит принять больше заявок, но несёт дополнительные затраты на создание дополнительного канала и на дальнейшее его содержание.

2. Не добавляя ещё одного канала, уменьшить время на обслуживание одной заявки, например, за счёт автоматизации канала.

3. Не добавляя ещё одного канала, создать систему без отказов, но с ожиданием в очереди. Этого можно добиться, если установить диваны для ожидания.

Таким образом, можно повысить эффективность работы наиболее приемлемым для банка решением.

Литература:

1. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (учебное пособие) // Успехи современного естествознания. – 2010. – № 2. – С. 122-123; URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=7763

2. Хрущев Д.Г., Силантьев А.В., Агишева Д.К., Зотова С.А. ОШИБКИ ПРИНЯТИЯ ГИПОТЕЗЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3; URL: www.eduherald.ru/140-14164

3. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Математическая статистика: учебное пособие. / Д.К. Агишева, С.А. Зотова, Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная; ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград, 2010.

Код для цитирования: Скопировать