VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Векторные функции находят широкое применение в физике, механике, электротехнике и других естественных и технических науках (при изучении параметров движения различных материальных систем, при определении деформаций и напряжений в элементах конструкций, при исследовании колебаний в механических, электрических и других системах и т.д.). Соответствующие задачи, как правило, содержат элементы дифференциальной геометрии. Рассмотрим некоторые из этих задач.

Целью исследования является аналитическое и практическое построение эволюты и эвольвенты.

Задачи исследования: дать определение эволюты и эвольвенты; сформулировать общие свойства, связывающие рассматриваемые кривые; рассмотреть способы их построения; составить уравнения эволюты эллипса и параболы, эвольвенты окружности; на основании полученных зависимостей построить их графики.

Пусть в произвольной точке М кривойLс непрерывно меняющейся кривизной построена окружность кривизныL*, с центром T^* и радиусом R^*.

Рис.1

Найдем координаты центра кривизны:

Поскольку

То после подстановки этих величин в формулу (1) получим

Зная координаты центра кривизны, можно записать уравнение окружности кривизны

Геометрическое место L^* центров кривизны кривойLназывается эволютой этой кривой, а кривая L по отношению к своей эволюте L^* называется эвольвентой, инволютой или разверткой.

Эволюта и эвольвента связаны между собой следующими общими свойствами:

Если М – произвольная точка кривой L, а Т – соответствующая точка эволюты L^*, то есть Т – центр кривизны L в точке М, то прямая ТМ является, с одной стороны нормалью к эвольвенте, а с другой – касательной к эволюте L^*.

Если точка М движется по эвольвенте, радиус кривизны которой изменяется монотонно, то его приращение равно по модулю длине развернутой эволюты, заключенной между соответствующими центрами кривизны.

Пусть эллипс задан параметрическими уравнениями:

Найдем уравнение эволюты эллипса. Для этого воспользуемся формулами:

Найдем производные первого и второго порядка:

Подставим полученные значения в формулы (2)

Таким образом, получили уравнения эволюты эллипса в параметрическом виде:

На основании полученной зависимости построим графики эллипса и ее эволюты

Рис. 2

Построим эволюту параболы, заданной уравнением y=x², для чего найдем производные первого и второго порядка:

Подставим полученные значения в формулы и найдем параметрические уравнения эволюты

==; ==

Таким образом, получили уравнения эволюты параболы в параметрическом виде:

На основании полученной зависимости построим графики параболы и ее эволюты (рис. 3).

Рис. 3

Найдем уравнение эвольвенты окружности

.

Запишем уравнение окружности в параметрическом виде:

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где - определяет положение эвольвенты.

Найдем производные:

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученные значения в формулы:

=

Таким образом, получили уравнения эвольвент окружности в параметрическом виде:

Построение эвольвенты выполняем в следующей последовательности:

заданную окружность делим на несколько равных частей (к примеру на 12), которые пронумеруем 1, 2,...12;

из конечной точки 12 проводим касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности;

полученный отрезок (длину окружности) делим также на 12 равных частей;

из точек деления окружности проводим касательные и на них откладываем отрезки

соединив полученные точки 11, 21, 31,...121 плавной кривой, получим эвольвенту окружности (рис. 4).

Рис. 4

Библиографический список

1. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии. – Л.: ГИТТЛ, 1950. – 256 с.

2. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия. – М.: МГУ, 1961. – 452 с.

3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. – М.: Мир, 1970. – 198 с.

4. Смирнов, В.И. Курс высшей математики.– М.: Наука, 1967 – 450 с.

Код для цитирования: Скопировать