VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с таким понятием как «логарифмы». Они упрощают и ускоряют процесс любых вычислений, которые нам необходимы. Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию . Все эти термины непосредственно связаны с темой, о которой я хочу рассказать более подробно, а именно «Логарифмическая функция в форме бесконечного ряда».

Открытие Сен Венсана было использовано Николаем Кауфманом (Меркатором). В 1667 г. Н. Меркатор опубликовал своё сочинение «Логарифмотехника», в котором дал новый способ вычисления логарифмов, основанный на открытиях Сен Венсана [2].

Возьмём гиперболу , заменим в её уравнении через , т. е. станем обозначать через расстояние от прямой, параллельной прежней, проходящей на 1 правее. Уравнение примет вид . Площадь над отрезком (рисунок 1) в новых координатах будет равна: .

Рисунок 1

Ординату можно приближённо представить в виде многочлена, который получается при разделении на , до некоторой степени . Полученный при этом остаток будет произвольно мал при достаточно высоких степенях , если . Разложив в ряд, он получил [2].

Далее Меркатор использует методы квадрирования площадей, ограниченных кривой вида , абсциссой и двумя ординатами [4].

Ещё предшественники Меркатора, математики Паскаль, Ферма, Валлис вычисляли площади под кривыми, определяемыми уравнениями:

.

При помощи этих приёмов получается, что площадь под кривой, определяемой уравнением от точки до некоторой точки будет выражаться формулой

.

Это выражение при и даст приближённое значение площади под гиперболой , т. е. для

Итак,

(где остаток при достаточно больших значениях произвольно мал), т. е. было получено аналитическое представление логарифмической функции. Полученное выражение позволяет вычислять логарифмы с любой степенью точности [4].

Понятие логарифмической функции всё более обогащалось с течением времени. Осваивались её возможные интерпретации в зависимости от задач, в которых её применяли, отрабатывалась техника её представления степенным рядом в целях лучшего с нею оперирования. Логарифмическая функция оказывалась всё теснее связанной с другими классами функций. Её как бы втянуло постепенно в поток открытий, в ходе которых складывался анализ бесконечно малых [2].

С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. Исаак Ньютон (1643 — 1727) в сочинении «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (1711) произвёл обращение ряда (*) и получил аналитическое выражение показательной функции :

[3].

Таким образом, И. Ньютон дал трактовку показательной функции как обратной к логарифмической функции. Увидев примеры, мы наглядным образом смогли разобраться в них и более четко понять их назначение. Познакомились подробнее с логарифмическим рядом и его развитием.

Список использованных источников

1. Абельсон И. Б. Рождение логарифмов / И.Б.Абельсон. - Л.-М.: ОГИЗ, 1948. - 231 с.

2. Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. / Л. Я. Гиршвальд. – Харьков : Изд-во Харьк. гос. ун-та им. А. М. Горького, 1952 . – 32 с.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX—X кл. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.

4. Рыбников К.А. История математики. I / К.А. Рубников. – М.: Издательство Московского университета: 1960. - 191 с.

Код для цитирования: Скопировать