VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Введение.

При оптимизации портфеля ценных бумаг, перед каждым инвестором встает два вопроса: минимизация риса и максимизация доходности портфеля. Для решения этих вопросов необходимо спрогнозировать доход на основе имеющихся исторических данных и определить риск.

В соответствие с классической теорией Марковица [1], если инвестору доступны определенное количество ценных бумаг, то при каждом заданном уровне доходности найдется только один единственный портфель с минимальным значением уровня риска. Набор таких портфелей образуют эффективную границу Марковица.

Пусть – доходность актива , в то время как – доля актива в портфеле. Тогда ожидаемая доходность портфеля определяется как:

где – ожидаемая доходность актива .

В теории Марковица риск портфеля равен:

Определенную выше оптимизационную задачу можно записать в виде:

где – ковариация доходностей – ой и – ой ценных бумаг; – минимальный уровень доходности, требуемый инвестором от портфеля;

Можно выделить следующие недостатки модели:

1. Модель строится на основании средней доходностей по данным прошлых периодов, поэтому ее рационально использовать только при стабильном состоянии фондового рынка;

2. Основное предположение модели состоит в том, что доходности актива распределены нормально, что не всегда выполняется. Более того, среднеквадратичное отклонение учитывает не только понижение цен, но и повышение, в то время как последнее для инвестора является благоприятным исходом. Следовательно, математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение не могут служить адекватными мерами доходности и риска;

3. Модель Марковица имеет квадратичную целевую функцию, оптимизация которой может быть связана с большими временными затратами при большом количестве акций, входящих в портфель. Эти временные затраты могут быть неприемлемыми для инвесторов, торгующих в реальном времени;

4. Оптимальное решение по Марковицу, как правило, состоит из множества ненулевых решений, которые составляют лишь малые доли от всего портфеля. Такое решение является нереалистичным, так как инвестиции в большое количество акций сопровождаются значительными транзакционными издержками. Управление таким портфелем также требует много времени. Для того чтобы избежать эти проблемы, инвесторы зачастую отбрасывают из рассмотрения ценные бумаги, доли которых в портфеле незначительны, что может увеличить риск портфеля.

В настоящее время модель Марковица подвергается всесторонней критике и уточнению, [2-5]. Предложен целый ряд подходов к оценке риска, [6-7]. Среди них особенно активно в зарубежной литературе исследуется модель МАD (среднее абсолютное отклонение), которое было впервые предложено Г. Конно и Г. Ямазаки в 1991 году, [2]. В данной модели в качестве меры риска используется значение среднего абсолютного отклонения доходности акции от ее ожидаемого значения:

Оптимизационную задачу в рамках модели MAD можно сформулировать следующим образом:

Пусть — доходности акции на момент , тогда ожидаемую доходность акции определим как:

В этом случае мера риска преобразуется следующим образом:

Сделаем замену , тогда система сводится к виду:

Что эквивалентно системе линейных уравнений:

Следует отметить, что если доходности всех акций, составляющих портфель, распределены нормально, то как строго доказано в работе [2], меры риска по Марковицу и Конно-Ямазаки связаны следующим соотношением:

Следовательно, в указанном случае обе модели минимизации риска практически эквивалентны. Однако в общем случае условие не выполняется. Кроме того, модель MAD имеет ряд преимуществ по сравнению с моделью Марковица [2,6-7]. В модели МАD нет необходимости расчета ковариационной матрицы и решения задачи квадратичного программирования, так как оптимизационная задача в этом случае сводится к задаче линейного программирования.

Однако несмотря на явные достоинства данной модели и ее широкое исследование в западной научной литературе, к сожалению, в отечественной литературе применимость MAD для российского фондового рынка практически не исследуется.

Поэтому цель данной работы состоит в проведении анализа возможностей применения модели МАD при формировании инвестиционного портфеля минимального риска из российских акций и сопоставлении его с классической моделью Марковица.

1. Построение и анализ оптимальных портфелей в рамках моделей Марковица и MAD

При формировании портфеля мной были взяты и проанализированы акции десяти компаний на основе данных о цене закрытия с 01.01.2011 по 01.12 2014 [8]. Были рассчитаны их ожидаемые доходности и стандартные отклонения за каждую неделю (таблица 1).

Таблица 1

Недельные значения ожидаемых доходностей и риска цен акций

№	Наименование компании	Тикер	Среднее значение доходности за неделю,%	Стандартное отклонение доходности за неделю,%
1	ОАО «ГМК Норникель»	GMKN	0,21	3,78
2	ПАО «Татнефть»	TATN	0,32	4,59
3	ОАО «Уралкалий»	URKA	-0,14	4,58
4	ОАО «Лукойл»	LKOH	0,16	2,9
5	ОАО «Магнит»	MGNT	0,58	4,39
6	ОАО «Мобильные ТелеСистемы»	MTSS	-0,01	3,63
7	ОАО «НОВАТЭК»	NVTK	0,23	4,1
8	ОАО «Транснефть»	TRNFP	0,65	4,61
9	ОАО «Сургутнефтегаз»	SNGS	-0,01	3,83
10	ОАО «НК Роснефть»	ROSN	0,04	3,5

Как видно из таблицы, самая большая ожидаемая доходность у компаний «Транснефть» 0,65% и «Магнит» 0,58%, которые характеризуются и высоким уровнем риска (4,61% и 4,39% соответственно). У компании «Татнефть» достаточно высокий риск 4,59% для уровня ожидаемой доходности 0,32%.

Для оптимизации инвестиционного портфеля, состоящего из вышеприведенных акций, мною в пакете Matlab была разработана программа расчета портфелей минимального риска по моделям Марковица и MAD с заданным недельным уровнем доходности 0,5%. Выполненный расчет показал, что из всех первоначально включенных в портфель десяти акций, оптимальные портфели, рассчитанные по моделям Марковица и MAD, содержат акции только пяти одинаковых компаний (см. таблицу 2), доли которых в обоих портфелях сопоставимы, за исключением акций компании «Новатэк» (NVTK).

Таблица 2

Оптимальный портфель по моделям Марковица и MAD

Компания	Веса портфеля по Марковицу	Веса портфеля по MAD
GMKN	0,191	0,16
LKOH	0,0798	0,092
MGNT	0,3647	0,3535
NVTK	0,0001	0,0196
TRNFP	0,3644	0,3749

Однако согласно таблице 3, портфель по модели Марковица имеет больший риск по сравнению с моделью MAD (3,1% против 2,25%).

Таблица 3

Ожидаемые доходности и риск оптимальных портфелей

	Модель Марковица	Модель MAD
Ожидаемая доходность, %	0,5	0,5
Риск (стандартное отклонение), %	3,1	2,25

Причина обнаруженного различия между моделями, по-видимому, вызвана отклонением распределения доходностей акций от нормального.

На рис.1-5 представлены гистограммы распределения доходностей (за исследуемый период) акций пяти компаний, входящих в оптимальный портфель. Красная линия представляет собой плотность нормального распределения для значений математического ожидания и дисперсии (табл.1) соответствующей акции оптимального портфеля. Как видно из рис. 1-5, распределения доходностей некоторых акций отклоняются от нормального распределения.

Рис 1. ОАО «ГМК Норникель» Рис 2. ОАО «Лукойл»

Рис 3. ОАО «Магнит» Рис 4. ОАО «Новатэк»

Рис 5. ОАО «Траснефть»

Мною, с помощью упрощенного критерия Шапиро-Уилка при уровне значимости , также была проверена гипотеза о том, что доходности акции оптимального портфеля распределены нормально. Проверка показала, что кроме акций компании «Новатэк», распределения доходностей остальных акций, отклоняются от нормального.

Заключение

Из проведенного исследования было отмечено, что модель МАD обладает целым рядом достоинств для своего использования. Одной из главных преимуществ модели является то, что она не основана на предпосылки о нормальном распределении доходностей акций. Более того, из-за отсутствия необходимости расчета ковариационной матрицы, расчет оптимального портфеля по модели МАD значительно упрощается и является устойчивее к начальным данным.

Установлено, что МАD может быть применена к российскому фондовому рынку. Оценки ожидаемой доходности инвестиционного портфеля в рамках обеих моделей практически совпадают и не зависят от вида распределения доходности акций входящих в портфель. Однако оценки риска в рамках этих моделей могут различаться, если распределения доходностей акций отклоняются от нормального.

Список литературы

1. Markowitz, Harry M., Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol. 7 (1952) No. 1, pp.77-91.

2. Konno H., and H. Yamazaki Mean-Absolute deviation portfolio optimization model and its applications to Tokyo stock market. Management Science Vol. 37, No.5,1991, pp. 519-531.

3. Duan Li, Wan-lung Ng, Optimal Dynamic Portfolio Selection: Multi-Period Mean-Variance Formulation, Mathematical Finance, Vol.10, No.3 (July 2000), pp. 387-406.

4. Oswaldo L. V. Costa, Michael V. Araujo, Multi-period mean-variance portfolio optimization with markov switching parameters, Revista Controle & Automação/Vol.19 no.2/Abril, Maio e Junho 2008, pp. 138-146.

5. Simaan, Yusif, Estimation Risk in Portfolio Selection: The Mean Variance Model versus the Mean Absolute Deviation Model, Management Science Vol. 43 (1997) No. 10, pp. 1437-1446.

6. Young, M., 1998. “A minimax portfolio selection rule with linear programming solution”, Management Science, Vol. 44, No. 5, pp. 673-683.

7. Biglova, A., Ortobelli, S., Rachev, S. and Stoyanov, S., 2004. “Different approaches to risk estimation in portfolio theory”, Journal of Portfolio Management, Vol. 31, Issue 1, pp. 103-112.

8. Инвестиционный холдинг «ФИНАМ»: котировки фондовой биржи. – Режим доступа: http://www.finam.ru/.

10

Код для цитирования: Скопировать