Ханмурзина З.Р.
1
1Самарский Государственный Экономический Университет
Экономика немыслима без математики. Рыночные термины тесно переплетаются с математическими понятиями. Одним из понятий, связывающих экономику и математику является понятие полезности. Большой вклад в теорию полезности внесли Дж. Нейман и О. Моргенштерн. Они предложили процедуру построения индивидуальной функции полезности: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены в два этапа. На первом этапе присваиваются произвольные значения выигрышам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине ставится в соответствие меньшее число. На втором этапе игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму v, находящуюся между лучшим и худшим значениями S и s, либо принять участие в игре, т.е. получить с вероятностью p наибольшую денежную сумму S и с вероятностью (1-p) – наименьшую сумму s. При этом вероятность нужно изменять до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. В общем случае график функции полезности может быть трех типов: 1-для ЛПР, не склонного к риску,- строго вогнутая функция(рис. а); 2-для ЛПР, безразличного к риску,- прямая линия (рис. б); 3-для ЛПР, склонного к риску,- строго выпуклая функция (рис.в); При решении задач принятия решений для описания интересов ЛПР используют функцию полезности. Приведу в пример задачу, в которой использую функцию полезности. Углеперерабатывающее предприятие решает вопрос о бурении скважины. Известно, что если предприятие будет бурить, то вероятность того, что угля найдено не будет равна 0,7; с вероятностью 0,05 запасы месторождения угля составят 60 000 т; с вероятностью 0,16 -150 000 т; с вероятностью 0,05 - 550 000 т; с вероятностью 0,04 -1 000 000 т. Если угля не будет найдено, то предприятие потеряет 60 000 дол.; если мощность месторождения составит 60 000 т, то потери снизятся до 25 000 дол.; мощность месторождения в 150 000 т принесет прибыль 50 000 дол.; 550 000 т- 450 000 дол.; 1 000 000 т - 940 000 дол. Дерево решений данной задачи представлено на рис. 4. Нетрудно рассчитать ожидаемое значение выигрыша: ОДО = 0,7(-60 000) + 0,05 (-25 000) + 0,16*50 000 + + 0,05*450 000 + +0,04*940 000 = 24 850
Вероятность 0,7
Угля нет Прибыль -60 000
Вероятность 0,05
Уголь 60 000т. Прибыль -25000
Вероятность 0,16
Бурить Уголь 150 000 Прибыль 50 000
Вероятность 0,05
Уголь 500 000 Прибыль +450 000
Вероятность 0,04
Уголь 1000 000 Прибыль +940 000
Не бурить Прибыль 0 рис.4
Теперь обратимся к процедуре построения индивидуальной функции полезности, которую предложили Дж. Нейман и О.Моргенштерн. Для этого рассчитаем полезность результата любого из возможных исходов задачи по формуле U() =p0U(S)+(1 –p0)U(s). Присвоим произвольные значения полезностей выигрышам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине ставится в соответствие меньшее число . Например, для нашей задачи U(- 50 000 дол.)=0,а U(940 000 дол.)=40. Учитывая ,что U –индивидуальное число, характеризующее ЛПР, нули, отвечающие расчету одо,можно отбросить. Рассчитаем полезность результатов любого из возможных исходов для задачи. Пусть для ЛПР безразлично: потерять 20 000дол.или начать раскопки угля(выигрыш 940 000 дол. с вероятностью 0,1 или проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,9.) согласно формуле имеем: U(-20)=0.1 U(940)+0.9 U(-50)=4 Получаем U(-50)=0 , U(940)=40, откуда следует, что U(-20)=4 Таким образом может быть построена функция полезности:
50
30
20
10
-50 0 150 940… одо
Литература
А.М.Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю Хрусталев «Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе». Москва «Финансы и статистика» 1999г, с. 172
