VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Введение

Любой инвестиционный проект, в том числе и на рынке жилья, имеет прямую связь с риском и неопределённостью. Поскольку присутствуют факторы, при каких о результатах действий предпринимателя нет полной и точной информации, также неизвестна степень возможного влияния этих факторов на результаты. В результате такой неполноты и неточности информации об условиях реализации проекта и порождается неопределённость и наличие риска при принятии управленческих или инвестиционных решений на рынке жилья. Эти факторы условно можно разделить на внешние (законодательство, реакция рынка на выпускаемую продукцию, действия конкурентов) и внутренние (компетентность персонала фирмы, ошибочность определения характеристик проекта).

Риск является вероятностью возникновения условий, приводящих к негативным экономическим последствиям для всех или отдельных участников проекта. Влияние факторов риска и неопределенности приводит к тому, что содержание, состав инвестиционного проекта и методы оценки его эффективности существенно изменяются.

Для диагностики показателей инвестиционного проекта на рынке жилья в результате реализации необходимо применение адекватных математических методов и моделей. Использование данных методов должно обеспечить получение количественных оценок прогнозных показателей, минимизировать ошибки на всех этапах планирования и реализации проекта, дать возможность принимать обоснованные решения в процессе инвестирования. В этом в первую очередь могут оказать помощь методы теории игр. Немного рассмотрим, что собой представляет теория игр.

Теория игр - это раздел математики, ориентированный на построение формальных моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом, под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами.

Теории игр в принципе поддаются математическому описанию всевозможные правовые, военные конфликты, экономические решения, медицинские.

В данной работе рассматривается применение моделей теории игр на рынке жилья.

В первой части данной работы рассмотрены теоретические основы теории игр, в частности игры с природой как модель принятия решения в условиях неопределённости и риска на рынке жилья. Для принятия решений в таких моделях рассмотрены классические критерии: критерий максимакса, критерий Байэсса-Лапласа, критерий Севиджа и производные критерии: критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий Гермейера, критерий произведений.

Во второй части работы смоделирована ситуация, в которой инвестору необходимо принять решение о строительстве жилья определенного типа в некотором месте в условиях неопределённости, в формализованном виде. Данная ситуация относится к классу игр с природой, так как против такого игрока как инвестор выступает игрок – факторы рынка. Так как целью данных факторов не является минимизация проигрыша, такую игру невозможно отнести к антагонистическим играм. Ситуация относится к играм с природой в условиях полной неопределённости и к её решению применяются критерии Вальда, максимакса, Севиджа, Гурвица, Ходжи-Лемана и Гермеэра. Также рассматривается случай, когда известно степени влияния факторов на успешность проекта, в этом случае к решению задачи применяется критерий Байэсса-Лапласа.

Целью данной работы является подтверждение гипотезы о том, что даже основные элементы теории игр могут успешно применяться в планировании проектор и принятия решений на рынке жилья.

1. Теоретическая часть

1.1. Игра с природой как математическая модель принятия решений в условиях неопределённости на рынке жилья

Согласно теории принятия решений, можно выделить два типа моделей принятия решений на рынке жилья.

1. Принятие решения в условиях полной неопределенности – когда предпринимателю, который должен принять решение, не известны вероятности наступления исходов или последствий для каждого решения.

2. Принятие решений в условиях риска – когда предпринимателю, который должен принять решение, известны вероятности наступления исходов или последствий для каждого решения.

Исходя из типа модели, в процессе принятия решения применяют разные критерии. Каждый из таких критериев рассмотрен в последующих пунктах работы подробно.

Для применения игры с природой к принятиям решений на рынке жилья, рассмотрим, что собой представляют игры с природой.

Игра человека с природой отражает конфликтную ситуацию, возникающую при столкновении интересов в выборе решения. "Стихийным силам природы" невозможно приписать разумные действия, направленные против человека, и тем более какой-либо "злой умысел". То есть, речь скорее идёт о конфликтной ситуации, вызванной противостоянием интересов человека и неопределенностью действий природы.

В нашем случае в роле природы выступают факторы рынка, действие которых в результате реализации проекта могут, как наносить ущерб, так и приносить прибыль. Например, предприниматель может инвестировать в некоторую сумму в проект строительства дома. У него есть варианты: построить четырнадцатиэтажный дом, девятиэтажный или пятиэтажный. Реализация данного проекта запланирована через полтора года. На размер прибыли (или ущерба) инвестора влияют такие факторы, как спрос на квартиры через полтора года, цены на недвижимость, компетентность персонала его формы. Весомым фактором является спрос, допустим спрос на рынке жилья к моменту окончания строительства может иметь 3 разных состояния, обозначим их соответственно П₁, П₂, П₃. Исходя их этого инвестору с помощью аппарата теории игр следует принять решение по применении одной из стратегий: А₁ – инвестировать строительство четырнадцатиэтажного дома, А₂ – девятиэтажного дома, А₃ – пятиэтажного дома.

Матрица игры с природой А = ||а_ij||, где а_ij – выигрыш (потеря) игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i=1, …, m; j=1,…,n).

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой на нашем примере. Инвестор имеет 3 возможных стратегии, а у природы имеется 3 возможных состояний (спрос на рынке жилья), тогда условия модели данной ситуации задаются матрицей А выигрышей (потерь) игрока 1 (инвестора):

А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3
	А1	а11	а12	а13
	А2	а21	а22	а23
	А3	а31	а32	а33

Здесь а_ij – вероятность прибыли или ущерба в состоянии фактора jпри условии выбора стратегии i.

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей (потерь), а в виде матрицы рисков R = ||r_ij||_m,n. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоя­нии среды.

Матрица на основе матрицы выигрышей (потерь) А с помощью формулы: . Зная состояние природы (стратегию) В_j, игрок выбирает ту стра­тегию, при которой его выигрыш максимальный или потеря минимальна. В зависимости от позиции инвестора, с которой он принимает решение, в процессе решения игры применяют один из рассмотренных ниже критериев.

1.2. Классические критерии принятия решений

1.2.1. Критерий максимакса

С его помощью определяется страте­гия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилуч­шим признается решение, при котором достигается максималь­ный выигрыш, равный .

Cитуации, требующие применения такого критерия, на рынке жилья бывают часто, и пользуются им не только оптимисты, но и предприниматели, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены сильно рисковать.

1.2.2. Критерий Байэсса-Лапласа

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

Z_BL=.

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени;

• решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

• для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

1.2.3. Критерий Севиджа

Выбор стратегии ана­логичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А, а матрицей рисков R:

S = min max r_ij 1 i m, 1 j n.

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

1.2.4. Критерий Вальда (максиминный)

С позиций данного критерия рынок жилья рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет выигрыш анвестора, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = max min a_ij, 1 i m, 1 j n – максиминный критерий.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет потери инвестора, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = min max a_ij, 1 i m, 1 j n –минимаксный критерий.

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучшей. Это перестраховочная по­зиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай.

1.3. Производные критерии

1.3.1. Критерий Гурвица

Данный критерий называют критерием пессимизма-оптимизма, поскольку этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым сред­ним результатом, характеризующим состояние между крайним пес­симизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятность (1-р) и в самом выгодном состоянии с вероятностью р, где р – коэффициент пессимизма.

Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением:

H_A = max  p max a_ij + (1-p) min a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij– выигрыш

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij– потери (затраты)

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оп­тимизма Гурвица имеет вид:

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij , 1 i m, 1 j n.

Значение р от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р = 0,5 представляет наиболее разумный вариант.

1.3.2. Критерий Ходжа-Лемана

Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Ходжа-Лемана Z_HL, если вероятности состояния системы принятия решений неизвестны. При решении задачи учесть, что степень доверия к позиции крайней осторожности Z_MM на процесс принятия решения должна быть не более 0,4

Критерий Ходжа-Лемана Z_HLможно представить в виде:

Z_HL= Z_BL+ Z_MM, а в этой задаче с коэффициентами, Z_HL= vZ_BL+ (1-v)Z_MM

1.3.3. Критерий произведений

Правило выбора в этом случае формулируется так : . Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

• вероятности появления состояния Bj неизвестны;

• с появлением каждого из состояний Bj по отдельности необходимо считаться;

• критерий применим и при малом числе реализаций решения;

• некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все a_ij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг a_ij+а с некоторой константой а> . Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

а:= +1.

2. Практическая часть

2.1. Постановка и формирование модели задачи принятия решений в условиях неопределённости на рынке жилья

Смоделируем следующую ситуацию. Инвестор предстоит принять решение о строительстве жилья определенного типа в неопределённом пока месте. В данном случае предприниматель находится в условиях неопределенности на рынке жилья. К времени завершения строительства могут изменится показатели следующих факторов: цены на недвижимость, конкуренция на рынке жилья, соотношение предложения и спроса, курсы валют и другие. Маркетинговые исследования доказывают, что одним из наиболее весомых факторов, влияющих на стоимость жилья, является место его расположения.

Постоим математическую модель данной ситуации. Мы имеем игру с природой. Здесь игрок А – инвестор, природа П – множество возможных состояний на рынке жилья на момент завершения строительства, например, четыре состояния П₁, П₂, П₃, П₄ природы.

Также известны приближенные вероятности этих состояний:

q₁ = p(П₁) = 0,25;

q₂ = p(П₂) = 0,35;

q₃ = p(П₃) = 0,3;

q₄ = p (П₄) = 0,1.

Предположим, что игрок А располагает пятью (чистыми) стратегиями А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, каждая из которых соответствует выбору определенного места для строительства дома. Инвестиционная привлекательность проекта определяется как прирост дохода по отношению к сумме капитальных вложений, выражена в процентах. Показатели инвестиционной привлекательности известны для каждой стратегии и каждого состояния рынка.

Представим эти показатели в следующей матрице выигрышей игрока А:

А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4
	А1	3	2	4	14
	А2	5	6	10	7
	А3	8	5	7	4
	А4	2	6	8	13
	А5	4	7	11	10
	qj	0,25	0,35	0,3	0,1

Матрица А имеет размер размера 5 х 4, в нижней строке указаны вероятности состояний природы. Матрица А не содержит доминирующих и дублируемых строк и все ее элементы положительны.

Инвестору предстоит выбрать участок земли так, чтобы наиболее эффективно использовать капиталовложения.

2.2. Решение задачи и анализ результатов

Решения данной игры проводим средствами редактора электронных таблиц Ms Excel. Вносим матрицу прибыли на рабочий лист редактора и применяем первый критерий для принятия решения – критерий максимакса, который используется в условия полной неопределённости.

Вводим необходимые формулы и получаем результат.

Критерий максимакса
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4	max аij			max (max аij)
	А1	3	2	4	14	=МАКС(C14:F14)			=МАКС(G14:G18)
	А2	5	6	10	7	=МАКС(C15:F15)
	А3	8	5	7	4	=МАКС(C16:F16)
	А4	2	6	8	13	=МАКС(C17:F17)
	А5	4	7	11	10	=МАКС(C18:F18)

Критерий максимакса
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4	max аij			max (max аij)
	А1	3	2	4	14	14			14,00
	А2	5	6	10	7	10
	А3	8	5	7	4	8
	А4	2	6	8	13	13
	А5	4	7	11	10	11

По результатам применения данного критерия инвестору следуем выдрать стратегию А₁, при этом прирост дохода по отношению к сумме капитальных вложений составит 14% согласно критерию максимакса. В процессе принятия решений он выбирает лучший из всех возможных исходов и не принимает во внимание риск.

Теперь применяем критерий для принятия решения при условии, что вероятности состояний рынка известны – критерий Байесса-Лапласса.

Вводим необходимые формулы и получаем результат.

Критерий Байэса_Лапласа
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4
	А1	3	2	4	14	=СУММПРОИЗВ(C23:F23;$C$28:$F$28)			=МАКС(G23:G27)
	А2	5	6	10	7	=СУММПРОИЗВ(C24:F24;$C$28:$F$28)
	А3	8	5	7	4	=СУММПРОИЗВ(C25:F25;$C$28:$F$28)
	А4	2	6	8	13	=СУММПРОИЗВ(C26:F26;$C$28:$F$28)
	А5	4	7	11	10	=СУММПРОИЗВ(C27:F27;$C$28:$F$28)
	qj	0,25	0,35	0,3	0,1

Критерий Байэса-Лапласа
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4
	А1	3	2	4	14	4,05			7,75
	А2	5	6	10	7	7,05
	А3	8	5	7	4	6,25
	А4	2	6	8	13	6,3
	А5	4	7	11	10	7,75
	qj	0,25	0,35	0,3	0,1

По результатам применения данного критерия инвестору следуем выбрать стратегию А₅, при этом прирост дохода по отношению к сумме капитальных вложений составит 7,75% согласно критерию Байэса-Лапласа. В процессе принятия решений он принимает во внимание возможность риска.

Применяем критерий принятия решения в условиях полной неопределённости – критерий Гурвица.

Вводим необходимые формулы и получаем результат.

Критерий произведений
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4
	А1	3	2	4	14	=ПРОИЗВЕД(C33:F33)			=МАКС(G33:G37)
	А2	5	6	10	7	=ПРОИЗВЕД(C34:F34)
	А3	8	5	7	4	=ПРОИЗВЕД(C35:F35)
	А4	2	6	8	13	=ПРОИЗВЕД(C36:F36)
	А5	4	7	11	10	=ПРОИЗВЕД(C37:F37)

Критерий произведений
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4
	А1	3	2	4	14	336			3080,00
	А2	5	6	10	7	2100
	А3	8	5	7	4	1120
	А4	2	6	8	13	1248
	А5	4	7	11	10	3080

По результатам применения данного критерия инвестору следуем выбрать стратегию А₅. В процессе принятия решений он принимает во внимание возможность риска.

Применим критерий Вальда (максиминный) для принятия оптимального решения:

Критерий Вальда
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4	min аij			max (min аij)
	А1	3	2	4	14	=МИН(C42:F42)			=МАКС(G42:G46)
	А2	5	6	10	7	=МИН(C43:F43)
	А3	8	5	7	4	=МИН(C44:F44)
	А4	2	6	8	13	=МИН(C45:F45)
	А5	4	7	11	10	=МИН(C46:F46)

Критерий Вальда
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4	min аij			max (min аij)
	А1	3	2	4	14	2			5,00
	А2	5	6	10	7	5
	А3	8	5	7	4	4
	А4	2	6	8	13	2
	А5	4	7	11	10	4

По результатам решения с помощью данного критерия инвестору следует выбрать стратегию А_2. В процессе принятия решения игрок допускает наихудшие условия на рынке и выбирает из них самый прибыльный. По данному критерию риск при инвестировании уменьшается.

Применим критерий Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма) для принятия оптимального решения. При этом показатель оптимизма примем 0,5.

Критерий Гурвица
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4	аir		min (max rij)
	А1	3	2	4	14	=$B$56*МАКС(C51:F51)+(1-$B$56)*МИН(C51:F51)		=МИН(G51:G55)
	А2	5	6	10	7	=$B$56*МАКС(C52:F52)+(1-$B$56)*МИН(C52:F52)
	А3	8	5	7	4	=$B$56*МАКС(C53:F53)+(1-$B$56)*МИН(C53:F53)
	А4	2	6	8	13	=$B$56*МАКС(C54:F54)+(1-$B$56)*МИН(C54:F54)
	А5	4	7	11	10	=$B$56*МАКС(C55:F55)+(1-$B$56)*МИН(C55:F55)
	0,5

Критерий Гурвица
А	Стратегии игрока 1	Состояния природы
		П1	П2	П3	П4	аir			min (max rij)
	А1	3	2	4	14	8			6,00
	А2	5	6	10	7	7,5
	А3	8	5	7	4	6
	А4	2	6	8	13	7,5
	А5	4	7	11	10	7,5
	0,5

По результатам применения данного критерия инвестору следуем выбрать стратегию А₃, при этом прирост дохода по отношению к сумме капитальных вложений составит 6 % согласно критерию Гурвица. В процессе принятия решений он принимает во внимание возможность риска, и уровень этого риска зависит от выбранного показателя оптимизма.

Заключение

В результате приведения данного примера и принятия решения с помощью инструментов теории игр можно с уверенностью утверждать, что при грамотном подходе теория игр способна обеспечить инвестору принятие правильного решения при планировании проекта, предотвратить или во всяком случае минимизировать его потери, увеличить прибыль от реализации проекта.

В ходе работы были рассмотрены теоретические основы игр с природой в условиях полной неопределённости и в условиях риска. Были также рассмотрены классические критерии, которые целесообразно использовать в обоих случаях.

На основе рассмотренного материала была построена модель, в которой инвестору необходимо было принять оптимальное решение по выбору места строительства дома.

Для определения стратегии инвестора были применены пять разных критериев в зависимости от начальных условий и склонности к риску самого инвестора. Согласно каждого критерия были разные варианты ответов, какую стратегию следует выбрать, тут уже зависит от предпринимателя, допускает он риск или согласен на меньшую прибыль, но с минимальным риском.

Таким образом, можно сказать, что, опираясь на математический аппарат теории игр, в частности игр с природой в условиях полной неопределённости и риска, можно построить вполне рабочую модель, имеющую решение, которая может обеспечить принятия оптимального решения.

Литература

1. Колесник, Г.В. Теория игр: Учебное пособие / Г.В. Колесник. - М.: ЛИБРОКОМ, 2013. - 152 c.

2. Колокольцов, В.Н. Математическое моделирование многоагентных систем конкуренции и кооперации (Теория игр для всех): Учебное пособие / В.Н. Колокольцов, О.А. Малафеев. - СПб.: Лань, 2012. - 624 c.

3. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.

4. Невежин, В.П. Теория игр. Примеры и задачи: Учебное пособие / В.П. Невежин. - М.: Форум, 2012. - 128 c.

5. Ященко, Н.А. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач): Учебное пособие / Л.Г. Лабскер, Н.А. Ященко; Под ред. Л.Г. Лабскер. - М.: КноРус, 2013. - 264 c.

17

Код для цитирования: Скопировать