VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Дифференциальное уравнение является одним из фундаментальных понятий математики, широко применяемое в различных областях современных наук, основоположниками которого являются Исаак Ньютон (1642-1727 гг.) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.).  

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком дифференциала или же производной. Для отыскания функций, производные которых, удовлетворяют некоторым наперед заданным условиям. Дифференциальное уравнение, получают в итоге изучения любого реального явления, подобный процесс называют дифференциальной моделью этого явления. Следовательно эти, дифференциальные модели – являются частным примером, математических моделей. Они могут строиться при изучении окружающего нас мира. При этом следует отметить, что существуют множество разнообразных видов дифференциальных моделей. Например, рассмотрим такие модели как, обыкновенные дифференциальные уравнения, у которых, одной из характерных черт, является то, что неизвестные функции в этих уравнениях находятся в зависимости всего на всего от одной переменной.

Для построения моделей методами дифференциального исчисления немало важную роль играют знания законов предметной области изучаемых явлений или процессов. Так, к примеру, знание законов Ньютона – три закона, лежащие в основе механики и позволяющие записать уравнения движения для любой механической системы, если известны силовые взаимодействия для составляющих её тел – способствуют построению более точной математической модели изучаемого объекта классической механики.

Безусловно, на практике приходится иметь работу и с такими вариантами, как неизвестные законы, но в тоже время, они дают возможность нам составить дифференциальное уравнение, и в этом случае, нужно придерживаться к различным предположениям, касающимся этого процесса при незначительных конфигурациях – переменных. К таким уравнениям, в этом случае, приводится максимальный переход. При этом, в случае если внезапно окажется, собственно что итогом изучения дифференциального уравнения, как математической модели согласуются с опытными данными, то это и будет означать, что данная гипотеза, совершенно верно отражает правильное положение вещей. И так: мне хочется показать на примерах, из всевозможных областей, возможность использования обычных дифференциальных уравнений в процессе познания окружающей нас действительности.

В моделях экономической динамики, достаточно обширно применяют дифференциальные уравнения. В них отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.

Таким образом, хочется рассмотреть некоторые (простейшие) задачи макроэкономической динамики.

Нахождение выражения для объема реализованной продукции

Пусть y(t) – объём продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене ρ, т.е. выполнено условие насыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t) = ρy(t). Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е.

Y´(t)= ιI(t). (1)

(Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и её реализации, т.е. считаем, что инвестиционный лаг равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим

I(t)= m Y(t)=mρy(t), (2)

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) – постоянная величина, 00, и это уравнение описывает уравнение возрастающую функцию y(t). При исследовании функции y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции.Действительно, из (4) следует, что

Напомним, что эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой

Тогда выражение для y´´ можно записать в виде

и условие y´´ = 0 равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. | или, то и функция выпукла вниз; в случае, если спрос не эластичен, т.е. , или , то и функция выпукла вверх.

Пример 1. Найти уравнение для объема реализованной продукции, если известно, что кривая спроса задана уравнением , норма акселерации , норма инвестиций .

Решение:

Уравнение (4) в этом случае принимает вид

или

Выполнив почленное интегрирование, получаем

или

(5)

где С= ± еС1.

Учитывая, что у(0)=0,5, получаем, что С = -3. Выражая теперь у из (5),окончательно имеем

График данной функции схематично изображен на рисунке 1. (В данном случае эластичность спроса задается функцией и , определяющее положение точки перегиба на кривой, даёт у=1).

Рисунок 1 – График функции

Кривая, изображенная на рис.1, - это логистическая кривая. Такие кривые, предназначены для описания процесса рекламирования информации, динамику, эпидемий, например процесс размножения бактерий в ограниченной среде и другие.

Нахождение функции дохода

Доход Y(t), полученный к моменту t некоторой отраслью, является суммой инвестиций I(t) и величины потребления С(t), т.е.

Y(t) = I(t) + C(t). (6)

Как ранее в модели естественного роста, будем предполагать, что скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т.е.

, (7)

где b – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода (что равносильно (1) при постоянной цене на продукцию pи.

Рассмотрим поведение функции дохода в зависимости от функции .

Пусть представляет фиксированную часть получаемого дохода:

,

где mнорма инвестиций (см. пример 1). Тогда из (6) и (7) получаем |, или, то и функция выпукла вверх.

Пример 2. Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса задается уравнением , норма акселерации , норма инвестиций

Решение:

Уравнение (4) в этом случае принимает вид

или

Выполняя почленное интегрирование, получаем:

или

(5)

где .

Учитывая, что , получаем, что выражая теперь у из (5) окончательно имеем:

График данной функции схематично изображён на рис.1. (В данном случае эластичность спроса задаётся функцией и , определяющее положение точки перегиба на кривой, дает ).

, (8)

Что равносильно уравнению (3) при .

В ряде случае вид функции потребления C(t) бывает известен ( из некоторых дополнительных соображений).

Пример 3. Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией ; коэффициент капиталоемкости прироста дохода

Решение.

Из соотношения (6) и (7) имеем уравнение

т.е функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать решение в виде

Тогда имеем:

Значение постоянной C находим из начальных условий, поскольку Y(0)= , то C=1. Окончательно имеем :

Спрос и предложение

Как известно, спрос и предложение – экономические категории товарного производства, возникающие функционирующие на рынке, в сфере товарного обмена. При этом спрос – представленная на рынке потребность в товарах, а предложение – продукт, который есть на рынке или может быть доставлен на него. закон спроса и предложения, который заключается в единстве спроса и предложения и их объективном стремлении к соответствию является одним из главных экономических законов товарного производства.

Разберем на случае надлежащую задачку. Пусть в течение достаточно продолжительного времени крестьянин продает на рынке фрукты ( например, яблоки), причем продаёт их после уборки урожая, с недельными перерывами. Тогда, при имеющихся у крестьянина запасах фруктов недельное предложение будет зависеть как от ожидаемой цены в наступающей недели. Если в наступающей неделе предполагается, что цена упадет, а в последующей неделе повысится, то предложение будет сдерживаться при условии превышения ожидаемого повышения цен над издержками хранения. При этом предложение товара в ближайшую неделю будет тем меньшим, чем большим предполагается в дальнейшем цены. И наоборот, если в наступающей неделе цена будет высокой, а затем ожидается ее падение, то предложение увеличится тем больше, чем большим предполагается понижение цены в дальнейшем.

В случае если обозначить через ρ цену на фрукты на следующей неделе, а через - так называемую тенденцию формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение буду функциями указанных величин При данном, как демонстрирует практика, в зависимости от различных факторов спрос и предложение имеют все шансы быть разными функциями цены и тенденциями формирования цены. В частности, одна из этих функций задается линейной зависимостью, математически описываемой соотношением где – некоторые вещественные постоянные.

А тогда за это время в случае если, к примеру, в рассматриваемой задаче стоимость на фрукты вначале составляла 1 р. за 1 кг, через t недель она уже p(t) р. за 1кг, а спрос q и предложение s определялись соответственно соотношениями

то для такого дабы спрос отвечал предложению, нужно выполнение равенства

Отсюда приходим к дифференциальному уравнению

Интегрируя, находим, что

Если же учесть начальные условия p=1 при t=0, то окончательно получаем

Таким образом, в случае если настоятельно требовать, чтобы между спросом и предложением всё время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы стоимость менялась в согласовании с данной формулой (9).

Эффективность рекламы

Положим, собственно что торговыми учреждениями реализуется продукция В, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N понимает только X клиентов. Допустим дальше. Собственно что для ускорения сбыта продукции в были предоставлены маркетинговые объявления по радио и телевидению. Дальнейшая информация о продукции распространяется между покупателями посредствам общения друг с другом. С большей степенью достоверности можно считать, собственно что впоследствии маркетинговых оглашений скоростью конфигурации числа знающих о продукции В пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, о нём ещё не знающих.

Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N/γ человек, то приходим к дифференциальному уравнению

С начальными условиями при в уравнение (10) коэффициент k- это положительный коэффициент пропорциональности. Интегрируя уравнение (10), находим, что

Полагая , приходим к равенству

Если последнее уравнение разрешить относительно x, то получим соотношение

где

В экономической литературе уравнение (11) обычно называют уравнение логической кривой.

Если учесть теперь начальное условие, то уравнение (11) перепишется в виде

В заключение отметим, что к уравнению (10) сводится, в частности, задача о распространении технологических новшеств.

Список используемых источников

1. Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_уравнение

2. Красс М.С. Математика для экономистов: учебное пособие / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Питер, 2010. – 464 с.

3. Светличная В.Б., Матюнина Е.В. Разные способы решения линейного дифференциального уравнения // Современные наукоемкие технологии. - 2014. - № 5 (2). - С. 195-196.

Код для цитирования: Скопировать