VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Цель работы: выявление соотношений и связей между числами, в том числе «чисел сочетаний». В ходе работы был найден нестандартный метод образования чисел сочетаний, т.е. биномиальных коэффициентов, раскрыты некоторые свойства сочетаний.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел [3].

Паскаль создаёт «Трактат об арифметическом треугольнике» (издан в 1665 году), где исследует свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчёту числа сочетаний, не прибегая к алгебраическим формулам. Одним из приложений к трактату была работа «О суммировании числовых степеней», где Паскаль предлагает метод подсчёта степеней чисел натурального ряда.

Трактат означает «подвергнутый рассмотрению».

Слово «кортеж» в переводе на русский означает «торжественное шествие» («кортеж автомашин»). Примерами кортежей могут служить слова (кортежи, составленные из букв алфавита), десятичные записи чисел (кортежи, составленные из цифр).

Понятие кортежа отличается от понятия множества тем, что во множестве все элементы различны, а в кортеже компоненты могут повторяться. В этой статье мы рассмотрим кортежи, которые обладают любопытными свойствами.

Возьмем 0, к нему добавим 1 и 2. Получим кортеж (1 2). К каждому элементу этого кортежа добавим по 1 и 2, получим кортеж 2 3 3 4. Добавляя к каждому элементу полученного кортежа по 1 и 2, получаем новый кортеж. Записывая все наши кортежи, друг под другом, получаем пирамиду из кортежей.

0

1 2

2 3 3 4

3 4 4 5 4 5 5 6

4 5 5 6 5 6 6 7 5 7 6 7 7 8

............................. и т.д.

Если к 0 прибавим 2 и 4, получим кортеж

0

2 4

4 6 6 8

6 8 8 1 0 8 1 0 1 0 1 2

8 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 4 1 0 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 6

...................................................

В общем виде наши пирамиды будут иметь следующий вид:

0

R 2 R

2 R 3 R 3 R 4 R

3 R 4 R 4 R 5 R 4 R 5 R 5 R 6 R

4 R 5 R 5 R 6 R 5 R 6 R 6 R 7 R 6 R 6 R 7 R 6 R 7 R 7 R 8 R

...............................................

Эти кортежи обладают следующим удивительным свойством: число повторений в каждой строке ступенчатой пирамиды является строкой треугольника Паскаля [2].

Запишем это:

0

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 1 0 1 0 5 1

Треугольник Паскаля обладает массой интереснейших свойств, главное из которых: не выполняя самого умножения (возведения в степень), с его помощью просто, быстро и точно можно возводить в любую степень двучлен (a+b).

[3]

Правда коэффициенты мы будем находить рекуррентно, т.е., для того, чтобы узнать коэффициенты разложения биномиаседьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы узнать для шестой, сначала найти их для пятой и так далее до самого начала. Тоже самое и в случае наших пирамид. Например, чтобы узнать числа в пятой строке, нужно знать элементы в четвертой строке и т.д.

В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»):

= + + + … =

Причём n здесь может быть как целым, так и произвольным действительным числом. Для неотрицательных целых n все коэффициенты с индексами k>n в этом ряду являются нулевыми, и поэтому данное разложение представляет собой конечную сумму [2].

Из каждого элемента предыдущей строки получается два элемента следующей.

Например.

4			5			5			6			5			6			6			7			6			7			7			8
5	6	6		7	6		7	7		8	6		7	7		8	7		8	8		9	7		8	8		9	8		9	9		10

Но нельзя ли обойтись без этого? Оказывается, можно вычислять элементы каждой строки пирамиды, не зная элементов предыдущей. Для этого, возьмем любое множество, элементами которого, являются числа (для удобства). Если нам нужно вычислять элементы строки n,то нужно взять числовое множество, где разность между первым и последним элементами равна n. Например, n = 4. Можно взять (1,2,3,4,5) или (2,3,4,5,6) или же (4,5,6,7,8) и т.д. Наши кортежи содержат элементов и кортежи можно разбить на кортежи с количеством элементов .То есть каждый следующий кортеж состоит из как бы «вложенных» друг в друга кортежей предыдущих строк, ступенчатой пирамиды. Например, кортеж для пятой строки пирамиды , состоит из кортежей с количеством элементов 2, , , .

1 кортеж 5 6

2 кортеж 5 6 6 7

3 кортеж 5 6 6 7 6 7 7 8

4 кортеж 5 6 6 7 6 7 7 8 6 7 7 8 7 8 8 9

Выясним закон образования кортежа на примере кортежа из множества (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), n=7. Запишем кортеж в виде прямоугольной таблицы.

2334 3445 3445 4556

3445 4556 4556 5667

3445 4556 4556 5667

4556 5667 5667 6778

3445 4556 4556 5667

4556 5667 5667 6778

4556 5667 5667 6778

5667 6778 6778 7889

1.Пишем первый элемент, рядом дважды второй, потом третий. Получаем кортеж 2 3 3 4 —первая четверка.

2.Для каждого элемента первой четверки составляем такие кортежи 2 3 4 3 4 3 4 4 5 3 4 4 5 4 5 5 6 —первая строка (большая четверка).

3.Для второй четверки 3 4 4 5 составляем такие кортежи. Это вторая строка (вторая большая четверка).

4.Для третьей четверки составляем кортежи и это пишем в третью строку.

5.Составляем кортеж для четвертой четверки первой большой четверки. Это будет четвертой строкой.

Далее составляем такой кортеж для первой четверки второй большой четверки и т.д., пока не появится последний элемент. Тогда процесс завершается. Зная это правило, легко составлять любой кортеж, по кортежу все строки треугольника Паскаля.

Для нашего кортежа число повторений: 1 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7 1 —седьмая строка треугольника Паскаля.

Кортежи длиной можно расположить в квадратную или прямоугольную таблицу. Например, кортеж для шестой строки можно расположить так, чтобы в строке и в столбце были коэффициенты разложения или и и т.д.

Составим таблицы для шестой строки пирамиды.

Таблица 1.

6	7	7	8	7	8	8	9
7	8	8	9	8	9	9	10
7	8	8	9	8	9	9	10
8	9	9	10	9	10	10	11
7	8	8	9	8	9	9	10
8	9	9	10	9	10	10	11
8	9	9	10	9	10	10	11
9	10	10	11	10	11	11	12

Составим вторую таблицу из первой.

Таблица 2.

Элементы	1	3	3	1
6	1
7	3	1
8	3	3	1
9	1	3	3	1
10		1	3	3
11			1	3
12				1

1, 3, 3, 1—число повторений столбцов. Числа в строке таблицы 2— это количество повторений элементов в столбце. Из этой таблицы мы получаем следующие тождества:

2

2222

2 и т.д.

Из этих таблиц можно получить тождества как:

222;

2222;

22222;

…………………………………….

2222; (1)

Эти формулы можно получить из таблицы, когда число повторений элементов в строке и столбце составляют коэффициенты разложения бинома .

Приведем еще несколько интересных тождеств.

[1]

В общем виде эти тождества можно записать так:

Если, k≥m-n, то в правой части наших тождеств появляются все коэффициенты разложения бинома Ньютона, если же k

Код для цитирования: Скопировать