VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В данной работе рассматриваются: распределение степеней двойки, обоснование теоремы Вейля. Показано распределение населения и площадей стран мира в соответствии с теорией Мальтуса, которые объяснил В.Арнольд, также в статье приведены примеры предельной равномерности распределения дробных долей логарифмов площадей стран.

Первая цифра числа бывает примерно в 6 раз чаще единицей, чем девяткой. Такая же закономерность наблюдается в численности населения и площадях стран мира. Объяснение этого факта приводит к математическим гипотезам, многие из которых доказаны, а остальные подтверждены компьютерными экспериментами и ожидают доказательства [1].

Степени двойки. Последовательность первых цифр чисел начинается с 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, …

Единицы составляют примерно 30% членов этой последовательности. Такое же распределение получается для последовательности первых цифр чисел и почти для любой геометрической прогрессии. (Исключение составляют прогрессии со знаменателями 10, и , где p и q целые.)

Доказательство сформулированного утверждения получено Г. Вейлем (1885-1955, немецкий математик, физик-теоретик) почти 100 лет назад. Он доказал, что каждое действительное число cможно представить в виде суммы целого числа и дробной доли , принадлежащей интервалу [2].

Теорема Вейля. Пусть x – иррациональное число. Тогда последовательность дробных долей чисел nx ( n = 0, 1, 2, …) равномерно распределена на интервале (0, 1).

Это значит, что число значений n, , для которой дробная доля nx принадлежит любому фиксированному отрезку длинойa, поделённое на N, стремится к а приN, стремящемся к бесконечности.

Распределение первых цифр чисел получается следующим образом. Рассмотрим последовательность чисел . Число иррационально. По теореме последовательность дробных долей чисел nx равномерно распределена на интервале (0, 1).

Но первая цифра i числа определяется тем, в какой из интервалов между числами и попадает дробная доля числа l. По теореме, доли чисел , начинающихся с составляют Например, для первой цифры эта доля составляет . Поэтому доля единиц среди первых цифр чисел составляет примерно 30%, это в 6 раз больше доли девяток [2].

Из всего сказанного можно сделать вывод: равномерное распределение дробных долей логарифмов чисел приводит к одинаковому распределению первых цифр для многих последовательностей.

Н.Н. Константинов (Советский и российский математик, преподаватель математики) сообщил В. Арнольду, что первые цифры населений стран мира распределены так же, как первые цифры степеней двойки. В.Арнольд объяснил этот факт.

Согласно теории Мальтуса, население каждой страны растёт в геометрической прогрессии (т.е как 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256). Из теоремы Вейля следует, что первые цифры населения страны в последовательные годы распределены как первые цифры степеней двойки. Согласно эргодическому принципу, временное среднее можно заменить пространственным: распределение по странам в один и тот же год должно совпадать с распределением в одной стране в разные годы [3].

Для контроля теории В. Арнольд рассмотрел числа страниц в книгах его библиотеки, высоты гор и длины рек. Во всех случаях доли девяток и доли единиц среди первых цифр полученных чисел оказались практически одинаковыми: = 1/9. Книги, горы и реки не растут в геометрической прогрессии, теория Мальтуса к ним не применима. Поэтому различие статистик первых цифр в числах, выражающих населения и длины рек, служит косвенным подтверждением теории Мальтуса.

В середине 80-х М.Б.Севрюк (доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института энергетических проблем химической физики им. В.Л. Тальрозе Российской академии наук) обнаружил, что не только населения, но и площади стран мира подчиняются такому же закону распределения первых цифр, как степени двойки.

Площади стран мира. История мира показывает, что площади стран иногда растут, а иногда убывают за счёт то присоединения одних стран к другим, то распада. Предположим, что за единицу времени страна с вероятностью половина делится пополам, а с вероятностью половина присоединяет к себе другую страну такой же площади, как она сама.

Теорема. Распределение дробных долей логарифмов площадей, занимаемых такой случайной страной в момент n, стремится к равномерному распределению на интервале (0, 1) при n, стремящемся к бесконечности [4].

Другими словами, вероятность того, что первая цифра площади окажется единицей, стремится при n к , …, что она окажется девяткой – примерно к 0, 046.

Действительно, рассмотрим последовательность = , где S – площадь в момент n. Точка в следующий момент с одинаковой вероятностью сдвигается влево или вправо на . По законам теории вероятностей, распределение величины при больших nбудет в основном сосредоточено на отрезке большой длины и будет пологим и симметричным. При переходе к дробным долям из такого распределения на оси lполучится почти равномерное распределение на окружности.

Для таких моделей можно строго доказать предельную равномерность распределения дробных долей логарифмов площадей стран.

Примеры:

1. В начальный момент имеется k стран площадей , …, . В каждый последующий момент одна страна с вероятностью 50% делится на 2 страны равной площади, и с вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же площади.

По вычислениям М.В. Хесиной (университет Торонто, июнь 1997) при = i, k = 100 распределение первых цифр площадей стран становится почти таким же, как приведённое выше распределение первых цифр степеней двойки, уже через сотню шагов.

2. Введение деления на неравные части с каким-либо законом распределения частей приводит к такому же результату.

3. В моделях, где разрешается объединяться только с соседями, устанавливается такое же распределение первых цифр. Например, в одной из модели Ф.Аикарди (Триест, июнь 1997) страны представлялись дугами окружности, а площади – длинами этих дуг. Распределение наступает очень быстро, почти не отличается от распределения первых цифр степеней двойки.

4. В другой модели Аикарди мир представляется графом, задающим разбиение сферы на треугольники (n вершин которых представляютn стран и снабжены площадями, распределёнными на интервале (1, n)по закону случая). Граф строится, начиная с икосаэдра (двадцатигранник), при помощи итераций(повторение) такой операции: случайно выбирается треугольная грань, добавляется вершина в её центре и соединяется со всеми тремя вершинами грани.

Передел мира в этой модели организован так: в каждый момент выбирается случайно вершина i и затем с вероятностью р число стран увеличивается на 1 и с вероятностью уменьшается на 1 [2].

Таким образом, в данной статье рассмотрены: теорема Вейля, распределение степеней двойки, распределение населения стран мира в соответствии с теорией Мальтуса, а также приведены примеры распределения дробных долей логарифмов площадей стран.

Список использованных источников

1. Арнольд В.И. Антинаучная революция в математике. [Электронный ресурс] / В. И. Арнольд. – Режим доступа: http://www.lawinrussia.ru/node/141315

2. Арнольд В.И. Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира [Электронный ресурс] / В. И. Арнольд. – Режим доступа: http://vivovoco.astronet.ru/VV/JOURNAL/QUANTUM/ARNOLD/ARN.HTM

3. Закон Бенфорда. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%91%D0%B5%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0

4. Распределение дробных долей. [Электронный ресурс] / Математическая энциклопедия. – Режим доступа: http://enc-dic.com/enc_math/Raspredelenie-drobnh-dole-3874.html

5. Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира [Электронный ресурс] / Научная сеть. – Режим доступа: http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156628&uri=arnold26.html

6. Теорема Биркгофа – Хинчина. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Биркгофа_—_Хинчина

7. Эргодическая теория. [Электронный ресурс] / Энциклопедия Физики и техники.– Режим доступа: http://femto.com.ua/articles/part_2/4770.html

Код для цитирования: Скопировать