VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Цель: овладеть навыками составления математической модели несбалансированной транспортной задачи и ее решения в среде пакета MathCad c помощью блока Given…Maximize (Given…Minimize).

Краткая теория

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е. выполняется условие, называется закрытой; в противном случае − открытой. Для открытой транспортной задачи возможны два случая:

а) суммарные запасы превышают суммарные потребности;

б) суммарные потребности превышают суммарные запасы.

Линейная целевая функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений, при этом открытая задача решается приведением к закрытой модели.

В случае а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель В_m+1 потребность которого составит

.

В случае б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Аn₊₁, запасы которого составляют

Стоимость перевозки единицы груза, как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равным нулю, так как груз в обоих случаях не перемещается.

После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решаетсяследующим образом:

Математическая модель закрытой транспортной задачи. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим через x_ij количество ресурса, перемещаемого из A_i пункта хранения в B_j пункт потребления. Таким образом, элементы x_ijобразуют матрицу перевозок Xn_хm.

2. Запишем целевую функцию − суммарные затраты на перевозку ресурсов, которую необходимо минимизировать

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ресурсы из всех пунктов отправления должны быть вывезены. Это ограничение можно записать в виде:

Т.е. сумма элементов каждой строки матрицы перевозок Х равна запасу ресурса в данном пункте хранения.

3.2. Необходимо удовлетворить запросы каждого потребителя в данном ресурсе. Это ограничение можно записать в виде:

3.3. Введем граничные условия, которые определяют предельно допустимые значения искомых переменных. Для нашей задачи их можно представить в виде:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-4) образуют математическую модель сбалансированной транспортной задачи.

Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, кто выполнил и проверил.

2. Определите начальные значения переменных и вектор-столбцы переменных Х и затрат на перевозку С.

3. Определите целевую функцию F(X).

4. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений и граничных условий.

5. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize и значение целевой функции.

6. Сделайте выводы по выполненной работе.

7. Самостоятельно решите задачу составления оптимального плана перевозок.

При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика.

Прежде чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо сначала проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого составлять математическую модель для ее решения.

Код для цитирования: Скопировать