VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Цельработы: овладеть навыками составления математической модели задачи о диете и ее решения в среде ЭТ MSExcel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCadc помощью блока Given...Maximize (Given...Minimize).

Диета - это специально подобранный по количеству, химическому составу, энергетической ценности (калорийности) и способу кулинарной обработки рацион, а также режим питания. В основу диетического питания положены современные, научно обоснованные физиологические нормы питания. В соответствии с ними питание здорового и больного человека в первую очередь призвано удовлетворить его физиологические потребности в пищевых веществах и энергии. Основные питательные вещества (белки, жиры, углеводы), а также иные незаменимые компоненты (витамины, макро- и микроэлементы) должны поступать в организм в оптимальном количестве в соответствии с потребностями конкретного человека. Физиологически обоснованные потребности зависят от большого числа факторов: возраста, пола, средней телесной массы, интенсивности физического труда, состояния здоровья и т.д., причем все эти факторы необходимо учитывать при составлении диеты. Многообразие продуктов питания еще более усложняет задачу, делая ее практически неразрешимой без применения математических методов, современных программных средств и ЭВМ.

Пусть имеются m видов продуктов Р1,Р2,...,Рm, содержащих питательные вещества и незаменимые компоненты В1,В2,...,Вn. В 100 граммах продукта Рj содержится известное aij количество питательного вещества или незаменимого компонента Вi. Кроме того известны: bi - ежесуточная минимальная потребность организма в веществах Вi (i=1,2,...,n), sj и еj - стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм продукта Рj (j=1,2,...,m).

Требуется рассчитать суточную диету, т.е. количество каждого продукта Рj, чтобы, с одной стороны, обеспечить минимально необходимое количество питательных веществ и незаменимых компонент, а с другой - минимизироватьстоимость разработанной диеты. При этом необходимо подсчитать энергетическую ценность полученной диеты.

Задачу можно сформулировать иначе. Разработать диету с заданной калорийностьюКзаданное и подсчитать ее стоимость.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Питательные вещества	Min потребность	Содержание питательных веществ в 100 граммах продукта
		Р1	Р2	. . .	Pm
B1	b1	a11	a12	. . .	a1m
B2	b2	a21	a22	. . .	a2m
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
Bn	bn	an1	an2	. . .	anm
Стоимость 100 г продукта		s1	s2	. . .	sm
Энергетическая ценность 100 г продукта		e1	e2	. . .	em

 

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о диете. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим xj- неизвестное пока количество(грамм) продуктаPj, входящего в диету (j = 1,...,m).

2.Запишем целевую функцию.Так как задача имеет две формулировки, то и целевых функций будет две:

Fs(х1,х2,...,xj,...,хm) = 1/100*(s1∙x1 + s2∙x2 + ...+ sj∙xj + ... + sm∙xm) = 

Fe(х1,х2,...,xj,...,хm) =1/100*( e1∙ x1 + e2 ∙ x2 + ...+ ej∙xj + ...  + em∙xm) =                    (1)

3.Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

Общее количествопотребленных питательных веществ и незаменимых компонент в диете должно быть не меньше ежесуточных физиологически обоснованных потребностей bi, т. е. можно записать следующую систему неравенств:

          (2)    

В систему ограничений добавлены условия, которые не позволяют переменным хj принимать значения меньше некоторых заданных количеств продукта  Рj.

Таким образом, целевая функция(1) и система ограничений(2) образуют математическую модель задачи о диете.

 

Решение задачи в среде ЭТMSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MSExcel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем Минимальная стоимость, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

 

3. Создайте вторую таблицу, указав в ней продукты диеты и переменные математической модели. В ячейках D17:K17 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х1,х2,..., х8.

4. В ячейку D19 введите формулу целевой функции. Завершите ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке D19 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х1,х2,..., х8.

 

5. В ячейку C21 записать функцию для вычисления энергетической ценности диеты. Ниже создать таблицу - Ограничения на max и min количество каждого продукта.

 6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

 

 

7. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если решение найдено, то появится диалоговое окно.

 

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное решение, имеющее следующий вид:

 

8.Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

 

 

Решение задачи с помощью математического пакета MathCad осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название,  кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным начальные нулевые значения.

4. Определите целевую функцию - суммарную прибыль предприятия.

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислите минимальное значение и энергетическую ценность.

8. Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

 

Код для цитирования: Скопировать