VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

УДК 004.02

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Сидорова Т.В. (студ.)

Южно-Российский Государственный Политехнический Университет

ЮРГПУ (НПИ) им. М.И. Платова

Новочеркасск, Россия

Symbolic computation in MathCAD

Sidorova T.V. (stud.)

South-Russian State Polytechnic UniversityYURGPU (NPI) named after. M.I. Platov

Novocherkassk, Russia

Общие сведения

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, если такое решение существует в принципе (что бывает далеко не всегда).

Ядро символьного процессора системы MathCAD – несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V фирмы Waterloo Maple Software, у которой фирма MathSoft (разработчик MathCAD) приобрела лицензию на его применение, благодаря чему MathCAD стала (начиная с версии 3. 0) системой символьной математики.

Символьные вычисления выполняются столь же просто (для пользователя), как вычисление квадрата х. Символьные операции можно выполнять двумя способами:

• Непосредственно в командном режиме (используя операции меню Symbolic (Символы));

• С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Symbolic (Символы) ).

Выделение выражений для символьных вычислений

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция. Само выражение в таком случае не выделяется.

Таким образом, для выполнения операций с символьным процессором нужно выделить объект (целое выражение или его часть) синими сплошными линиями.

Символьные операции разбиты на пять характерных разделов. Первыми идут наиболее часто используемые операции. Они могут выполняться с выражениями, содержащими комплексные числа или имеющими решения в комплексном виде.

Символьные операции

Операции с выделенными выражениями

Если в документе есть выделенное выражение, то с ним можно выполнять различные операции, представленные ниже:

Solve (расчеты) – преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю;

Символические – выполнить символьное преобразование выделенного выражения;

Float (с плавающей запятой) – вычислить выделенное выражение в вещественных числах;

Complex (комплексные) – выполнить вычисления в комплексном виде;

Simplify (упростить) – упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т д.;

Expand (расширить) – раскрыть выражение [например, для (Х + Y) (Х - Y) получаем X 2 - Y 2 ];

Factor (фактор) – разложить число или выражение на множители [например, X 2 - Y 2 даст (Х + Y) (Х - Y)];

Collect (подобные) – собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);

Coeffs (коэффициенты полинома) – по заданной переменной найти коэффициенты полинома, аппроксимирующего выражение, в котором эта переменная использована.

Операции с выделенными переменными

Для ряда операций надо знать, относительно какой переменной они выполняются. В этом случае необходимо выделить переменную, установив на ней маркер ввода. После этого становятся доступными следующие операции подменю Variable (переменные):

Solve (вычислить) – найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю;

Substitute (замена) – заменить указанную переменную содержимым буфера обмена;

Differentiate (дифференциалы) – дифференцировать выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);

Integrate (интеграция) – интегрировать все выражение, содержащее переменную, по этой переменной;

Expand to Series (разложить на составляющие) – найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;

Convert to Partial Fraction (преобразование в частичные доли) – разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.

Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Matrix (Матрицы), которая имеет свое подменю со следующими операциями:

Transpose (транспонирование) – получить транспонированную матрицу;

Invert (инвертирование) – создать обратную матрицу;

Determinant (определитель) – вычислить детерминант (определитель) матрицы. Результаты символьных операций с матрицами часто оказываются чрезмерно громоздкими и поэтому плохо обозримы.

Операции преобразования

В позиции Преобразование содержится раздел операций преобразования, создающий подменю со следующими возможностями:

Фурье – выполнить прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Фурье Обратное – выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Лапласа – выполнить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат – функция переменной s);

Лапласа Обратное – выполнить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат – функция переменной t);

Z – выполнить прямое Z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат – функция переменной z);

Обратное Z – выполнить обратное Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат – функция переменной n) . Стиль представления результатов вычислений На наглядность вычислений влияет стиль представления их результатов. Следующая команда позволяет задать тот или иной стиль: Стиль Вычислений... – задать вывод результата символьной операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него.

Стиль представления результатов вычислений

На наглядность вычислений влияет стиль представления их результатов. Следующая команда позволяет задать тот или иной стиль:

Стиль Вычислений... – задать вывод результата символьной операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него.

Цель работы: изучить основные методы работы с символьной информацией в математическом пакете MathCAD, преобрести навыки вычисления математических операций в символьном виде.

Пояснение к работе

Пакет Mathcad может использовать символьные преобразования. В этом случае ответ чаще всего получается в виде формулы.

Вычисление пределов

В пакете Mathcad есть 3 оператора вычисления пределов. Для того, чтобы вычислить предел, необходимо:

1. Нажать [Ctrl]+[l], чтобы вызвать оператор вычисления пределов. Для вызова оператора левостороннего и правостороннего пределов необходимо нажать [Ctrl]+[b] и [Ctrl]+[a] соответственно. Этот же оператор можно вызвать из Математической палитры. Во всех случаях появится конструкция с тремя полями ввода.

2. Заполнить поля ввода соответствующими выражениями и значениями.

3. Заключить все выражение в выделяющую рамку.

4. Нажать клавиши [Shift]+[F9].Предел будет вычислен, если он не существует, то появится сообщение «не определено».

Вычисление производных

Чтобы вычислить производную в символьном виде, необходимо:

1. Набрать знак вопроса, чтобы задать оператор производной, или комбинацию клавиш [Ctrl]+[?], чтобы задать производную высших порядков. Появится оператор дифференцирования с двумя полями ввода.

2. В поле записать выражение, которое необходимо продифференцировать, и переменную, по которой идет дифференцирование. Если требуется найти производную высших порядков, то его необходимо ввести в поле ввода порядка.

3. Взять все выражение в выделяющую рамку.

4. Нажать комбинацию клавиш [Shift]+[F9] и получить результат.

В пакете Mathcad существует еще один способ вычисления производной. Для этого используется команда меню «Символика», строчка «Дифференцировать по переменной». Чтобы продифференцировать выражение необходимо:

• Набрать данное выражение;

• Выделить переменную, по которой идет дифференцирование;

• Выбрать команду «Дифференцировать по переменной» из меню «Символика»

Вычисление неопределенных интегралов

Чтобы в символьной форме вычислить интеграл, необходимо:

1. Набрать [Ctrl]+[i] или выбрать соответствующий оператор из математической палитры.

2. Заполнить поле ввода для подынтегральной функции.

3. Определить переменную интегрирования, заполни поле ввода за знаком d.

4. Заключить все выражение в выделяющую рамку.

5. Нажать [Shift]+[F9].

Интегрировать выражение можно также, используя в меню «Символика» пункт «Интегрировать по переменной».

Если пакет Mathcad не может найти неопределенный интеграл, то он возвращает его неизменным. При вычислении неопределенного интеграла необходимо помнить, что пакет Mathcad выдает его значения с точностью до констант.

Вычисление определенного интеграла

Для того, чтобы вычислить символьно определенный, необходимо:

1. Нажать клавишу [&], или соответствующий оператор в математической палитре. Появится оператор с четырьмя полями ввода.

2. Заполнить их, учитывая, что пределы интегрирования могут быть постоянными, переменными и выражениями. Переменная, набранная в поле ввода после «d» - переменная, по которой идет интегрирование.

3. Забрать все выражение в выделяющую рамку.

4. Нажать [Shift]+[F9].

При этом пакет Mathcad попытается найти интеграл неопределенный, а затем подставить в найденную первообразную пределы интегрирования. Если неопределенный интеграл найти невозможно, то появится сообщение об ошибке. Если пределы интегрирования – числа, то пакет Mathcad выдаст результат, который обычно совпадает с результатом, полученным при численном интегрировании. И хотя результаты совпадают, необходимо помнить, что получены они разными способами. Те интегралы, которые не берутся в элементарных функциях необходимо вычислять только численно. Численно вычисляются также интегралы, у которых подынтегральные функции не являются гладкими (имеют точки разрыва), и потому не могут быть вычислены в символьном виде.

Численное вычисление определенного интеграла

Для численного вычисления определенного интеграла необходимо:

1. Вызвать оператор интегрирования с четырьмя полями ввода.

2. Заполнить поля ввода соответствующими константами, формулами и переменными.

3. Набрать знак «-» и получить ответ.

Для численного выражения определенного интеграла в пакете Mathcad используется численный алгоритм интегрирования Ромберга. При этом необходимо знать:

• Пределы интегрирования должны быть вещественными, а подынтегральное выражение может быть как вещественным, так и комплексным;

• Все переменные (кроме переменной интегрирования) должны быть определены к моменту вычисления интегралов;

• Переменная интегрирования должна быть простой переменной без индекса;

Точность вычисления интеграла зависит от подынтегральной функции. Если подынтегральная функция имеет разрывы или быстро меняется, то найденное численное решение может быть неточно.

Переменные пределы интегрирования

Хотя результат при численном интегрировании – одно число, можно использовать интеграл совместно с дискретным аргументом, чтобы получить значение интеграла при нескольких значениях предела интегрирования.

Mathcad - документ лабораторной работы имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Символьные вычисления

Рис. 1. Продолжение

Код для цитирования: Скопировать