VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Введение

         Теория игр в купе с теорией оптимального управления позволяют принимать правильные решения в разнообразных конфликтных и неконфликтных ситуациях. Теория игр - математическая дисциплина, касающаяся конфликтных задач. Военное дело, как ярко выраженное существо конфликта, стало одним из первых полигонов применения на практике разработок теории игр. Изучение задач военных сражений с помощью теории игр (в том числе дифференциальных) - это большой и трудный предмет. Применение теории игр к задачам военного дела означает, что для всех участников могут быть найдены эффективные решения - оптимальные действия, позволяющие максимально решить поставленные задачи.

 

1.     Военные игры

Попытки разбирать военные игры на настольных моделях делались много раз. Но эксперимент в военном деле (как и во всякой другой науке) есть средство, как для подтверждения теории, так и для нахождения новых путей для анализа.

Военный анализ есть вещь гораздо более неопределенная в смысле законов, предсказаний и логики, нежели физические науки. По этой причине моделирование с подробно и тщательно подобранными реалистическими деталями не может дать общего достоверного результата, если партия не будет повторена очень большое число раз. С точки зрения дифференциальных игр единственное, на что можно надеяться, - это на подтверждение заключений теории. Особенно важен случай, когда такие заключения выведены исходя из упрощенной модели (по необходимости это случается всегда).

В некоторых случаях дифференциальные игры в задачах военного дела играют совершенно явную и не требующую особых комментариев роль. Это верно, например, для большинства моделей, включающих преследование, отступление и другое маневрирование подобного рода. Так, в случае управления автоматизированными сетями связи в условиях сложной радиоэлектронной обстановки были предприняты попытки использовать лишь стохастические многошаговые антагонистические игры. Целесообразным представляется использование дифференциальных игр, поскольку их применение позволяет во многих случаях с большой долей достоверности описать необходимые процессы и найти оптимальное решение задачи.

Довольно таки часто в конфликтных ситуациях противоборствующие стороны объединяются в союзы для достижения лучших результатов. Поэтому возникает необходимость изучения коалиционных дифференциальных игр. Кроме того, идеальных ситуаций, не имеющих каких-либо помех, в мире не существует. А значит, целесообразно исследовать коалиционные дифференциальные игры при неопределенности.

Во время второй мировой войны научные разработки фон Неймана оказались бесценными для американской армии - военные начальники говорили, что для Пентагона ученый представляет такое же значение, как целая армейская дивизия. Вот пример использования Теории игр в военном деле. На американских торговых судах устанавливались зенитные установки. Однако за все время войны этими установками так и не был сбит ни один вражеский самолет. Возникает справедливый вопрос: стоит ли вообще оснащать суда, не предназначенные для ведения боевых действий, таким оружием. Группа ученых под руководством фон Неймана, изучив вопрос, пришла к выводу - само знание неприятелем о наличии таких орудий на торговых судах резко уменьшает вероятность и точность их обстрелов и бомбежек, а потому размещение «зениток» на этих судах, вполне доказало свою эффективность .

ЦРУ, Министерство обороны США и крупнейшие корпорации из списка Fortune 500 активно сотрудничают с футурологами. Разумеется, речь идёт о строго научной футурологии, то есть о математических вычислениях объективной вероятности будущих событий. Этим занимается теория игр - одна из новых областей математической науки, применимой практически ко всем областям человеческой жизни. Возможно, вычисления будущего, которые раньше велись в условиях строгой секретности для «элитных» клиентов, скоро выйдут на общедоступный коммерческий рынок. По крайней мере, об этом говорит то, что в одно время сразу два крупных американских журнала опубликовали материалы на данную тему, и оба напечатали интервью с профессором Нью-йоркского университета Брюсом Буэно де Мескита (BruceBuenodeMesquita). Профессору принадлежит консалтинговая фирма, которая занимается компьютерными вычислениями на основе теории игр. За двадцать лет сотрудничества с ЦРУ учёный точно вычислил несколько важных и неожиданных событий (например, приход Андропова к власти в СССР и захват Гонконга китайцами). В общей сложности он рассчитал более тысячи событий с точностью более 90%.Сейчас Брюс консультирует американские спецслужбы относительно политики в Иране. Например, его расчёты показывают, что США не имеет никаких шансов предотвратить запуск Ираном ядерного реактора для гражданских нужд.

2. Пример вычисления оптимальной стратегии

2.1 Элементы теории

Мы рассмотрим, прежде всего, так называемые матричные игры, т.е. игры, для которых может быть составлена платёжная матрица.

Платёжной матрицей называется матрица, показывающая платёж (выигрыш) одной стороны другой в случае, если первая сторона выбрала стратегию Ai, а вторая стратегию Bj (при этом проигрыш обозначается как отрицательный выигрыш). Если у игрока A есть m возможных стратегий, а у игрока B - n, то игра называется m·n. Оптимальной стратегией в таких играх является та, что при многократных повторениях обеспечит игроку наибольший выигрыш. При этом стратегия может быть как чистой, так и смешанной, т.е. заключающейся в чередовании чистых стратегий в определённом порядке. Доказано, что любая игра имеет решение либо в чистых, либо в смешанных стратегиях.

 Принцип выбора стороной наиболее осторожной стратегии называется "принципом минимакса".

Нижняя цена игры α - это максимальный выигрыш, который можно гарантировать в игре, верхняя цена игры β - это минимальный проигрыш, на который может рассчитывать противник. Если α = β, то решение игры находится в области чистых стратегий, в противном случае в области смешанных.

2.2 Пример решения прикладной военной задачи как матричной игры

Пусть имеются две системы оружия A1 и A2 (например, ЗРК), одна из которых эффективна против одного вида целей (например, низколетящих), а вторая против другого (высоколетящих). В результате расчётов эффективности можно составить платёжную матрицу, элементами которой будут вероятности поражения целей комплексами.

	B1	B2	min
A1	α11	α12	α1
A2	α21	α22	α2
max	β1	β2

 

Выбрав минимум из каждой строки и определив максимум из полученных значений находим нижнюю цену игры α=maxi{minj αij} .

Выбрав максимум из каждого столбца и определив минимум из полученных значений находим верхнюю цену игры β =maxi{minj β ij} .

Если они совпадают, то пересечение соответствующих строки и столбца является "седловой точкой", т.е. решением игры. Данная точка указывает на ситуацию, которая возникнет при оптимальном поведении обоих игроков, так как отклонятся от неё в одностороннем порядке невыгодно не одному из них. Если же  α ≠ β то игра имеет решение лишь в области смешанных стратегий, т.е. чистые стратегии необходимо чередовать с определённой частотой.

При этом для биматричной игры существует аналитическое решение:

 Т.е. если в результате расчётов была получена следующая платёжная матрица:

	B1	B2	min
A1	0,4	0,2	0,2
A2	0,2	0,6	0,2
max	0,4	0,6

 

То оптимальная смешанной стратегия игрока А задаётся следующими значениями вероятностей:

Т.е. необходимо разместить комплексы первого и второго видов в соотношении 2:1

Представленный выше пример иллюстрирует игру в один ход, т.е. принятие одиночного решения. При формализации многоходовых игр они могут быть представлены в виде "дерева" (графа без циклов) или матрицы существенно большей размерности, однако в конечном итоге их решение сводится к аналогичным действиям.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР ДЛЯ ОЦЕНКИ АТОМНОГО ОРУЖИЯ[1]

3.1 Общие сведения

Опубликованная за последнее время литература о выборе и оценке атомного оружия делает уместными некоторые замечания относительно использования игрового подхода и теории Ланчестера. Широко распространен метод оценки вооружения, со­стоящий в выборе моделей оружия и цели и в подсчете ущерба. Результаты такого детального расчета после критической обработки могут оказать помощь при оцен­ке оружия. Однако имеются основания предполагать, что в будущих войнах обе стороны будут обладать атомным оружием и обе стороны будут вынуждены создавать средства защиты от его действия. Одним из основных способов защиты, рассматриваемым в настоящей статье, является способ расположения противостоящих друг другу войск на поле боя.

То, что расположение войск играет важную роль, можно видеть на .простом примере. Если войска против­ника сосредоточены в пределах длинной узкой полосы близко к нашим войскам, то применение с нашей сторо­ны атомного оружия большой мощности было бы неэффективным. Гораздо эффективнее было бы применить несколько бомб малой мощности. С другой стороны, при рассредоточенном расположении войск более эффектив­ным будет применение оружия большой мощности (военный аспект рассредоточения войск будет рассмот­рен позднее).

Эти соображения приводят к необходимости выбора мощности атомного оружия и боевых порядков войск. В настоящей рассмотрена простая ситуация, в ко­торую входят эти элементы, для того чтобы получить хотя бы общие рекомендации по этим вопросам. Эта модель может быть уточнена во многих отношениях, но даже первое приближение дает понятие о некоторых тенденциях и указывает на необходимость дальнейших исследований вопроса.

Наиболее важно, однако, что обе стороны нуждаются в ответах на эти вопросы (и на многие другие вопросы), чтобы избежать поражения. Как нетрудно показать, при­менение одного типа атомного оружия и одного типа боевых порядков войск может привести к тяжелым поте­рям. Легко понять также, что при заданной системе оружия можно всегда применить такую тактику, которая сделает неэффективным применение этой системы ору­жия, если только стороны не вынуждены придерживать­ся одного определенного типа боевых порядков по другим соображениям, например, по условиям местно­сти. Таким образом, следует применять по крайней мере две различные системы оружия и два различных типа боевых порядков. Для того, чтобы точно установить какой стратегии следует придерживаться, самым подходящим аппаратом, по-видимому, является непрерывная игра, в которой стратегии каждого игрока состоят из всех возможных комбинаций типов оружия и типов боевых по рядков при ограничениях, накладываемых бюджетом численностью войск, условиями местности, военными целями и т.д. Такая игра выходит далеко за пределы возможностей современной вычислительной техники. Поэтому мы рассматриваем сильно упрощенный вариант этой игры.

Следует наложить некоторые ограничения на типы боевых порядков, которые могут быть использованы. Например, очень хорошим способом защиты от атомного оружия было бы рассредоточить войска так, чтобы каждый солдат находился на расстоянии 100 миль от бли­жайшего солдата. Очевидно, что с военной точки зрения такой метод совершенно неэффективен. Для того чтобы иметь возможность оценивать эффективность боевых порядков, использована теория Ланчестера.

3.2. МЕТОД

Предположим, что каждый солдат обладает опреде­ленной огневой мощью, не зависящей от численности группы. Как для обороняющейся, так и для атакующей стороны существует некоторая «основная» группа, чис­ленность которой наиболее оптимальна с тактической точки зрения. Поэтому численность групп, входящих в определенные боевые порядки, измеряется числом та­ких основных групп и является функцией общей числен­ности войск и численности основной группы. Следова­тельно, можно задаваться потерями, наносимыми каждой такой основной группе в результате применения атомно­го оружия. Предположим, что у нападающей сто­роны имелось n основных групп и что после применения обороняющейся стороной атомного оружия в каждой нападающей группе Ai осталось ni бойцов, каждый из которых обладает огневой мощью K*. Предположим далее, что обороняющаяся сторона состоит из m основ­ных групп и что после применения нападающей стороной атомного оружия в каждой обороняющейся группе Di осталось mi бойцов, каждый из которых обладает огне­вой мощью L. После этого оставшиеся группы Ai и Di вступают в бой друг с другом (характер боя зависит от расположения войск) по одной rpyппe с каждой стороны за один раз. Ожидаемое число уничтоженных бойцов, как функция продолжительности боя, подчиняется зако­ну уничтожения Ланчестера, т. е. если группа Ai сра­жается с группой Di и если ожидаемое число остающих­ся бойцов в любой момент времени t равно у (для нападающей стороны) и x (для обороняющейся сторо­ны), то

 

при начальных условиях.

Принимая во внимание время, в течение которого группы ведут бои, перегруппировываются и т. д., и многократ­но повторяя применение этого закона, можно определить победителя, или, точнее, можно определить ожидаемое число бойцов, уцелевших на каждой стороне, как функцию времени. Если назвать «временем уничтоже­ния» то время, в течение которого одна сторона теряет полностью своих людей, то в. качестве платежа можно принять число бойцов, уцелевших у нападающей сторо­ны, или число бойцов, уцелевших у обороняющейся сто­роны, по окончании времени уничтожения.

Если ожидаемое число уцелевших бойцов является неприемлемой платежной функцией, то можно использо­вать более общие уравнения Ланчестера для вероятно­сти того, что в момент t у нападающей и обороняющейся сторон остается некоторое определенное число бойцов. С такими более общими уравнениями можно познако­миться в статье Дж. Р. Айсбела и У. X. Мэрлоу «Игры на уничтожение» (см. перевод в настоящем сборнике). В нашей статье в целях иллюстрации идеи будут исполь­зованы·только уравнения (1).

Расчеты, связанные с применением общего метода, описанного выше, очень сложны. Поэтому мы будем предполагать, что число бойцов, уцелевших непосредственно после боя двух групп, определяется решением уравнений Ланчестера (1) для времени уничтожения. Кроме того, предполагается, что ошибки сброса бомб равны нулю, а отношение K/L огневой мощи нападающей стороны к огневой мощи обороняющейся стороны равно единице. Оставшаяся часть статьи посвящена рассмотрению трех примеров, иллюстрирующих применение этого мето­да. Хотя деление на основные группы является искус­ственным, тем не менее полученные результаты содержат полезную информацию.

3.3 Пример атомное оружие имеется только у обороняющейся стороны

Рассмотрим ситуацию непосредственной поддержки войск, при которой атомное оружие имеется только у обороняющейся стороны. Предположим, что оборонительные силы состоят из М человек, каждый из которых обладает огневой мощью К; Все бойцы размещены в пределах прямоугольника 600*3600 ярдов (0,914 м). В данной задаче конфигурация боевых порядков обороняющейся стороны не играет никакой роли. Предположение о прямоугольной форме боевых порядков сделано потому, что эта же форма используется в других примерах.

Рис. 1. Боевая ситуация, в которой у наступающей стороны имеется две группы А1, и А2

Нападающая сторона с общим численным составом в N бойцов, каждый из которых обладает огневой мощью L, распределяет своих бойцов по основным группам, размещенным в пределах прямоугольников размером 600X3600 ярдов. Таких групп может быть несколько. Нападающая сторона всегда располагает свои основные группы так, как показано на рис. 1. Предполагается, что огневая мощь, приходящаяся на одного бойца нападающей стороны!, не зависит от распределения общего числа бойцов Л^. Кроме того, L/К =l. Перед обороняющейся стороной стоит задача выбора типа оружия, а 'перед нападающей стороной - задача выбора числа основных групп W, на которое следует разбить свои силы. Для упрощения расчетов предположим, что в распоряжении обороняющейся стороны имеется четыре типа атомного оружия, характеристики которых приведены в табл.1 , а нападающая сторона может разделить свои силы только на одну, две, три или четыре группы.

Таблица 1

Для каждого типа оружия имеется фиксированное множество точек прицеливания, выбранных на некоторой линии, параллельной линии фронта (рис. 1) и расположенной так, чтобы! не поразить свои войска. Предполагая, что ошибки бомбометания равны нулю, можно легко -подсчитать эффективность применения данного типа оружия против любых боевых порядков нападающей стороны. Иначе говоря, если из(вестно, что боевой порядок состоит из k основных групп, можно подсчитать число -бойцов нападающей стороны Nij, оставшихся в группе Ai, i=1, 2, ..., k, после того, как обороняющаяся сторона применила атомное оружие типа j, j='1, 2,..., 4. Значения этих величин приведены в табл. 2.

Таблица 2 Число бойцов, уцелевших в каждой группе нападающей стороны после применения обороняющейся стороной атомного оружия, если нападающая сторона состоит из k основных групп и имеет общую численность N бойцов

В нашем случае теория Ланчестера применяется следующим образом. Предположим, что нападающая сторона выбрала боевой порядок с двумя основными группами, а обороняющаяся сторона выбрала первый тип оружия. После взрыва у нападающей стороны остается 0,ЗЗN бойцов в группе А1 и 0,19N бойцов в группе A2. Далее предполагается, что первую атаку производит группа A1 а затем атакует группа A2, причем каждая новая атака производится против бойцов обороняющейся стороны, уцелевших после предыдущей атаки. Подобная тактика согласно теории Ланчестера всегда приводит к полному уничтожению одной группы. Количество бойцов, оставшихся по окончании всех атак, приведено в табл. 3. Отрицательные числа в таблице соответствуют уничтожению нападающей стороны. Функция g(x)= (sgn x) и H = (M/N)2. Числа, приведенные в таблице, нормализованы относительно N, но это не оказывает никакого влияния на решение игры

 

Таблица 3

Заметим, что если х2>x1 то g(х2)>g(x1 ).Если же х2>x1 >0, то g(х2)-g(x1 )=  >0. Если 0> х2>x1 ,то x1> х2 и g(х2)-g(x1 )= | >0.. И наконец, если х2>0 >x1, то g(х2)-g(x1 )=  >0.  Ha основании этого легко видеть, что для любого значения Н все элементы второго столбца меньше соответствующих элементов первого и третьего столбцов. Поэтому обороняющаяся сторона никогда не будет применять оружие первого и третьего типа, и игра сводится к игре с платежной матрицей, приведенной в виде табл. 4. Проводя аналогичные рассуждения, можно видеть, что элементы четвертой строки новой матрицы больше соответствующих элементов второй и третьей строки для любого значения H. Поэтому нападающая сторона никогда не будет разделять свои силы на две и три основных группы. Платежная матрица окончательной игры дана в табл. 5.

 Для любого значения Н оптимальная стратегия нападающей стороны состоит в том, что она с некоторой вероятностью разделяет свои силы на четыре группы· и с некоторой вероятностью вообще не делит свои силы. Оптимальная же стратегия обороняющейся стороны состоит в применении оружия второго и четвертого типов с некоторыми вероятностями. На рис. 2 показаны эти оптимальные стратегии, а также цена игры в зависимости от (M/N)2. Некоторые точки на этих графиках представляют особый интерес. Например, точка, в которой цена игры становится равной нулю, может быть попользована для определения эффективности атомного оружия, выраженной с помощью числа пораженных бойцов. Иначе говоря, если обороняющаяся сторона обладает атомным оружием, а нападающая сторона, нет, тогда обороняющейся стороне достаточно иметь численность бойцов, равную 0,28 численности бойцов нападающей стороны, чтобы уравновесить силы наступающей стороны. Можно сказать еще по-другому: если у обеих сторон вначале имелись одинаковые силы, например по 1000 бойцов, то у обороняющейся стороны останется 950 бойцов, а у нападающей стороны не уцелеет никто.

Заключение

При применении теории решений в военном деле особый интерес представляет теория игр, изучающая математические методы анализа конфликтных ситуаций, возникающих между враждующими сторонами. Каждая из этих сторон преследует противоположные цели и для достижения их выбирает тот или иной способ действия. Однако результат действий одной из сторон зависит не только от этих действий, но и от действий, выбранных противниками. Иначе говоря, исход конфликтной ситуации есть функция выборов способов действия всех сторон, принимающих участие в этой конфликтной ситуации. Задача теории игр состоит в установлении тех способов действия, которые дают наибольшую выгоду (пользу) для каждого из противников.

Наибольших успехов теория игр добилась в изучении так называемых парных игр с нулевой суммой, т. е.  таких моделей конфликтных ситуаций, в которых имеются две враждующие стороны, причем выигрыши, получаемые одной стороной в процессе развития конфликта в результате выбора обеими сторонами определенных способов действия, в точности равны проигрышам противной стороны. 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.       Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Теория игр в экономике. Практикум с решениями задач.-М.:КНОРУС, 2014

2.     Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Экономические игры с природой. Практикум с решениями задач.-М.:Кнорус, 2015

3.     Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом.- М.: ДЕЛО, 2001

4.     Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения.-М.: КНОРУС, 2014

5.     Журнал Аналитические призмы Том 10, № 2(29). Май-август 2012

6.     . Теория игр/ Конюховский П.В., Малова А.С.: Учебное пособие. - М. :Издательство Юрайт, 2013. 2.

7.     Основы и применение методов прикладной математики в военном деле : Учебник / П. И. Иванов, А. Ю. Жиров, Е. В. Вышкварок. - Москва : МОНИНО, 1991.

8.     Дж. К Хэйл и X. X. Уик. Сэндиа Корпорейшн, Албукерк, шт. Нью Мексико (J. К.Hale and Η. Η. Wicke . Аn application of game theory to special weapon evaluation. Naval Research Logistics Quarterly, 1957, vol. 4, p. 347-356.)

9.     Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967, 479 с.

10.                       Ашкенази В.О. Применение теории игр в военном деле М.: Советское радио, 1961. - 362 с.

 

Собственные мысли

В данной работе представлен метод комбинированного использования классической теории сражения Ланчестера с теорией игр для выбора оптимальных стратегий в сражениях с применением атомного оружия. При использовании этого метода на примере, когда атомным оружием обладает только обороняющаяся сторона, было показано, что нападающая сторона должна либо максимально рассредоточить свои силы·, либо не рассредоточивать их совсем. Обороняющаяся сторона должна использовать смешанную стратегию, состоящую в применении двух бомб средней мощности или четырех бомб малой мощности.

 

 

---

[1] * Дж. К Хэйл и X. X. Уик*. Сэндиа Корпорейшн, Албукерк, шт. Нью Мексико (J. К.Hale and Η. Η. Wicke . Аn application of game theory to special weapon evaluation. Naval Research Logistics Quarterly, 1957, vol. 4, p. 347-356.)

 

Код для цитирования: Скопировать