VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Важнейшими понятиями математической статистики являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Генеральной совокупностью наблюдаемого признака (случайной величины) Х называют множество всевозможных значений, принимаемых наблюдаемым признаком Х. Результаты n измерений наблюдаемого признака (х1, х2, ... , хn) называют выборкой объема n из генеральной совокупности. Выборку можно рассматривать двояко:

а)  как случайный вектор длины n, каждая компонента которого имеет такое же распределение, как и наблюдаемый признак;

б)  как на результаты измерений, т.е. набор n чисел.

Объем выборки может быть очень большим, поэтому для установления закономерностей необходимо произвести обработку этой выборки.

Первый шаг к осмыслению закономерностей - это графическое представление выборки, то есть построение ее гистограммы, полигона частот и эмпирической функции распределения.

Однако выборки, имеющие похожие графические изображения, могут различаться своими числовыми характеристиками. Выборка может характеризоваться следующими числовыми значениями:

1.                Среднее значение. Рассчитывается по формуле

или, если интервал варьирования разбит на N интервалов и найдены частоты и середины частичных интервалов, то по формуле

где nj - частота попадания признака в j-й интервал;

xj - середина j-го интервала группировки.

Значение  характеризует среднее значение исследуемого признака.

В Mathcad для вычисления среднего значения используется встроенная функция mean(Х), где Х - вектор-столбец, содержащий n значений нашей выборки.

2.                Выборочная дисперсия характеризует разброс исследуемого признака около среднего значения . Рассчитывается по формуле

или, если признаки сгруппированы и подсчитаны частоты, то по формуле

 

В Mathcad для определения дисперсии выборки, значения которой записаны в вектор-столбце X, используется встроенная функция var(X), причем сама дисперсия определяется по формуле

 

3.                Стандартное отклонение. Рассчитывается по формуле σ =, где S2 рассчитывается по трем формулам, приведенным выше, и имеет размерность исследуемой величины.

4.                Выборочный эксцесс. Характеризует островершинность эмпирического распределения относительно стандартного нормального. Эксцесс стандартного нормального распределения принимается равным 0. Если островершинность больше нормального, то это значение положительно (ek> 0). В противном случае оно отрицательно (рис. 1).

Выборочный эксцесс может быть найден по формуле

ek = m4/σ4 - 3 ,

где m4 =/n или m4=/n .

5.                Коэффициент асимметрии. Характеризует симметрию распределения выборочных данных около центра выборки , для стандартного нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0 (аS=0).

Если правая ветвь графика более пологая, то коэффициент асимметрии аS<0, в противном случае аS>0.

 

Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

аs = m3/σ3 ,

где m3 = /n или m3=/n.

Задание. Пусть исследуется технологический процесс производства бензина ректификационной колонной. Замеряется выход одной из фракции готового продукта - бензина марки АИ-95. Измерения проводят с интервалом в один час. Получена выборка (см. табл. 1) из следующих 26 значений хi  (i =1, 2, ... , n , ∙ объем выборки n = 26):

Таблица 1. Выход бензина АИ-95 (%)  

 

7,13	9,12	9,77	9,17	8,89	6,19	7,71	6,96	6,72	6,08	4,41	5,52	9,59
8,06	6,26	4,86	6,33	6,28	8,60	7,38	7,84	7,24	6,85	6,50	8,28	4,98

 

Требуется: 1. По данной выборке построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.

2. Найти числовые характеристики выборки.

Для графического представления полученной выборки необходимо:

1. Найти максимальное и минимальное значения выборки xmax  и xmin.

2. Вычислить размах варьирования исследуемого признака R по формуле                    R = xmax - xmin .

3. Далее следует группировка выборки. При этом интервал варьирования [xmin, xmax] разбивается на N интервалов группировки одинаковой длины ∆, а затем подсчитывается число попаданий признака в j-й интервал группировки - nj, j=.

ГОСТ 11.006-74 «По правилам согласования опытного распределения с теоретическим» рекомендует следующие значения N в зависимости от объема выборки n:

при n =200     N =18÷20;

при n =400     N =25÷30;

при n =1000   N =35÷40.

Некоторые авторы рекомендуют пользоваться следующими эмпирическими формулами:

N   ,       N=5. lg(n) .

При этом каждый интервал группировки Δj = (aj;bj) характеризуется своим правым и левым концом, числом nj - попаданием признака в этот интервал. Иногда интервал характеризуют не границами, а его средним значением.

Проведем необходимые вычисления для нашей выборки.

1. Найдем максимальное и минимальное значения:

хmax=9,77 ,     хmin=4,41 .

2. Вычислим размах варьирования признака:

R = xmax- xmin =   9,77 - 4,41 = 5,36.

3. Найдем число интервалов группировки N по эмпирической формуле:                 N ==5 .

Разобьем интервал варьирования R на 5 интервалов группировки равной длины. Длину интервала Δ найдем по формуле: Δ =R/N = 5,36/51,072.

Дальнейшие вычисления удобно представить в табл. 2.

 

Таблица 2. Интервалы группировки и их характеристики

Nj	Интервал группировки Δj	Кол-во попаданий в интервал	Частота nj	Плотности частот nj/Δ	Относительные частоты nj/n
1	4,4-5,48	│││	3	3	3/26
2	5,48-6,56	│││││││	7	7	7/26
3	6,56-7,64	││││││	6	6	6/26
4	7,64-8,72	│││││	5	5	5/26
5	8,72-9,8	│││││	5	5	5/26
∑			26		1

 

Чтобы значение исследуемого признака не попадало на границы интервала группировки, примем минимальное значение признака не 4.41, а 4.4 и от этого значения начнем строить интервалы группировки длиной Δ = 0,5 (см. второй столбец табл. 1.2).

По данным таблицы строится ступенчатая фигура, которая называется гистограммой. При этом по оси х откладываются интервалы группировки, а по оси y - величины nj/n.∆ . В Mathcad для построения гистограммы используют встроенную функцию hist(⌂,⌂), которая имеет два аргумента. Первый из них - вектор-столбец интервалов группировки, второй - вектор-столбец значений выборки. Кроме гистограммы строят полигон частот и эмпирическую функцию распределения. После этого находят числовые характеристики выборки.

Mathcad-документ лабораторной работы имеет вид, представленный на рис. 3.

Код для цитирования: Скопировать