VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Условный экстремум - метод функций Лагранжа

Пусть требуется найти экстремум функции двух переменных z=f(x,y) при условии, что переменные х и у связаны уравнением   σ(х,у)=0 (уравнение связи). Тогда,  чтобы найти условный экстремум функции f при условии, что между х и у установлена некоторая связь, необходимо составить функцию Лагранжа по следующему правилу:

F(x,y,λ)=f(x,y)+λσ(x,y)  ,

 где λ - неопределенный постоянный множитель, называемый множителем Лагранжа. Затем ищут обычный экстремум функции F(x,y,λ).

В этом случае необходимое условие экстремума сводится к следующей системе трёх уравнений:

с тремя неизвестными x, y, λ.

Если М0(х0 ,у0 ) и λ0 - решение данной системы, то для нахождения условного экстремума необходимо вычислить следующий определитель 3-го порядка:

            Тогда:

1. Если ∆<0, то функция f(x,y) имеет в стационарной точке М0 условный максимум.

2. Если ∆>0, то функция f(x,y) имеет условный минимум.

ЗАДАНИЕ

 Исследовать на максимум и минимум функцию у=2x3 -3x2 -4 c помощью первой производной.

Цель работы: овладеть навыками нахождения экстремумов функции одной переменной в среде пакета Mathcad.

Порядок выполнения задания

1. Идентифицируем лабораторную работу, набрав ее название, кто выполнил и проверил.

2. Определим исследуемую функцию одной переменной.

3. Символьно найдите ее производную, при необходимости упростив полученное выражение с помощью встроенной функции simplify.

4. Найдем критические точки первого порядка.

5. Исследуем, с помощью первой производной, характер полученных критических значений.

6. Построим график функции и ее первой производной.

MathCad-документ выполнения работы представлен ниже.