VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Цель работы: овладеть навыками составления математической модели задачи о смесях и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» в среде пакета Math Cad помощью блока Given…Maximize (Given…Minimize).

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи о смесях и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» в среде пакета Math Cad помощью блока Given…Maximize (Given…Minimize).

Краткая теория

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д.

Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план решение следующей задачи: требуется получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Компоненты, входящие в состав материалов	Виды исходных материалов					Необходимое количество компонента в смеси
	1	2	…	m
1	a11	a12	…	a1m	b1
2	a21	a22	…	a2m	b2
…	…	…	…	…	…
	an1	an2	…	anm
Цена единицы материала	c1	c2	…	cm

Коэффициенты a_i показывают удельный вес i-го компонента в единице j-го материала.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим через x_j количество материала j-го вида, входящего в смесьj = 1,2, … ,m.

2.Запишем целевую функцию, удельную стоимость полученной смеси, которая имеет вид:

3.Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничения по минимально необходимому содержанию i-ой компоненты в готовой смеси:

где b_i − минимально необходимое содержание i-ой компоненты в готовой смеси.

3.2. Кроме того, на переменные x_j накладываются условия не отрицательности:

x_j ≥ 0, j= 1,…m, (3)

где равенство нулю означает, что данный компонент не входит в смесь.

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−3) образуют математическую модель задачи о смесях.

Пример выполнения

Постановка задачи. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем − не более 0,003%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых

компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице 1:

Таблица 1.Данные к задаче о смеси бензина

Характеристики компонентов	Компоненты автомобильного бензина
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,0035	0,0035	0,0030	0,0020
Запасы ресурса, т	700	600	500	300
Себестоимость, ден.ед./т	40	45	60	90

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: пусть х_j − количество в смеси компонента с номером j(j = 1,2,3,4).

2.Запишем целевую функцию.

В качестве целевой функции выступает себестоимость полученной смеси, которую необходимо минимизировать:

F(X) = 1/1000*(40*x₁ + 45*x₂ + 60*x₃ + 90*x₄ ) → min. (1´)

3.Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. По количеству получаемого бензина:

x₁ + x₂ + x₃ + х₄ = 1000. (2´)

3.2. По октановому числу:

(68*х1+72*х2+80*х3+90*х4)/1000≥76. (3´)

3.3. По содержанию серы:

(0,0035*х1+0,0035*х2+0,003*х3+0,002*х4)/1000≤0,003.(4´)

3.4. Условие не отрицательности рассматриваемых переменных:

х1, х2, х3, х4 ≥ 0 . (5´)

Таким образом, целевая функция(1´) и ограничения(2´− 5´) образуют математическую модель задачи о смеси бензина.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2. На следующем листе, с именем 1000 тонн, создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

3. Создайте вторую таблицу, указав в ней Количество компонентов в смеси с пока нулевыми значениями

4. В ячейку С13 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке С12 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁, х_2, х₃ и х₄.

5. Далее наберите таблицы ограничений и остатков ресурса.

6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне надстройки Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

7. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если решение найдено, то появится диалоговое окно.

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное решение, имеющее следующий вид:

8.Сделайте выводы по выполненной работе.

9. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Решение задачи с помощью математического пакета MathCadосуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета Math Cad:

1. Идентифицируйте лабораторную работу, набрав ее номер, название, кто выполнил и проверил.

2. Задайте исходные данные.

3. Присвойте переменным xj начальные (нулевые) значения.

4. Определите целевую функциюF(x1,х2,х3,х4).

5. Введите служебное слово Given и, после него, систему ограничений рассматриваемой задачи.

6. Найдите оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислите значение минимальной себестоимости.

8. Найдите остаток каждого компонента после выполнения заданного плана выпуска бензина.

9. Сделайте выводы по выполненной работе.

10. Сохраните результаты вычислений в своей папке.

Вывод: в ходе выполнения данной работы мы научились овладевать навыками составления математической модели задачи о смесях и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» в среде пакета Math Cad помощью блока Given…Maximize (Given…Minimize).

Код для цитирования: Скопировать