VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Исследование последовательностей авторами ([1], [2], [3]) показывает, что прогрессирующие последовательности, состоящие из членов арифметических и геометрических прогрессий, обладают тем свойством, что квадратные матрицы любого порядка (начиная с третьего), составленные из их членов, дают определитель равный 0. Анализ доступных литературных источников не выявил даже упоминания о таком замечательном факте.

Числа Фибоначчи представляют собой последовательность, каждый член которой, начиная с третьего, получается как сумма предыдущих двух. Если для прогрессирующих последовательностей любой член можно получить по его номеру, первому члену и разности (знаменателю), то числа Фибоначчи приходится получать последовательно по известному рекуррентному соотношению (хотя существуют приближённые формулы получения n-го члена – например, формула Бине) [4].

Рисунок 1 – Последовательность 16 первых чисел Фибоначчи, записанных в матрицу.

Рассмотрим, как соотносятся между собой соседние числа в четвёртой строке (рисунок 2). Очевидно, что отношения между ними «почти» равны. Полученное наводит на мысль, почему определитель матрицы получается равным 0.

Рисунок 2 – Пропорции между соседними числами Фибоначчи по строке матрицы.

Интересно, что значения отношений соседних чисел Фибоначчи (рисунок 2) «почти» совпадает со значением золотого числа [5].

Но пойдём дальше. Посмотрим, как соотносятся соответствующие элементы матрицы построчно, т.е. чему равны отношения соответствующих элементов в двух строках - четвёртой и третьей (рисунок 3). Учитывая, что указанные отношения «почти» равны, становится ясно, почему определитель рассматриваемой матрицы равен 0.

Рисунок 3 – Пропорции между соответствующими числами Фибоначчи в двух соседних строках матрицы.

Получив на рисунке 2 интересный результат – отношение двух соседних чисел Фибоначчи примерно равно золотому числу , перейдём к рассмотрению последовательности, составленной из значений золотого сечения [5] для начального значения t = 7 (рисунок 4).

Рисунок 4 – Матрица, составленная из последовательных значений золотого сечения:

В таблице y принимает последовательные значения, содержащие пропорции доста-

точно близкие к золотому сечению. Получены эти значения с помощью приведённого на рисунке (рисунок 4) цикла. При этом вычисление следующего элемента последовательности весьма похоже на вычисление соответствующего элемента последовательности чисел Фибоначчи. Приведённое в начале программы значение затем получается как отношение соседних последовательных значений последовательности (приводится в качестве контроля). Составленная матрица С имеет определитель равный 0, как это наблюдалось и для последовательности чисел Фибоначчи. Этот результат на первый взгляд удивителен, но последняя строка (рисунок 4) вычислений (отношения соответствующих элементов матрицы в двух строках) наглядно показывает пропорциональность между строками (одно из основных свойств определителя). То же самое наблюдается и для матрицы, состоящей из элементов последовательности чисел Фибоначчи (рисунок 3).

Приведённый выше материал был размещён в информационной образовательной среде кафедры общенаучных дисциплин АМТИ как результат студенческой научной работы. Вызвал большой интерес, много вопросов и предложений к авторам. Работа с этим документом сокурсников, студентов других направлений и курсов способствует развитию их научного творчества, самостоятельности в учебной и научной работе.

Литература

1. Смольняков И.М., Часов К.В. Формирование НИР студентов посредством информационной образовательной среды // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 7 – С. 105-106 URL:www.rae.ru/meo/?section=content&op=show_article&article_id= 5514 (дата обращения: 21.12.2014).

2. Смольняков И.М., Часов К.В. Некоторые свойства прогрессирующих последовательностей // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 7 – С. 106-107 URL: www.rae.ru/meo/?section=content&op=show_article&article_id=5515 (дата обращения: 21.12.2014).

3. Смольняков И.М., Часов К.В. Исследование различных последовательностей // Материалы VI Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: www.scienceforum.ru/2014/729/6698 (дата обращения: 21.12.2014).

4. Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/%D7%E8%F1%EB%E0_%D4%E8%E1%EE%ED%E0%F7%F7%E8 (дата обращения: 21.12.2014).

5. Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B5 _%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 (дата обращения: 21.12.2014).

Код для цитирования: Скопировать