VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Рассмотрим задачу Коши yђˈ=x2+y2,y0=0,2.

Дифференциальное уравнение yђˈ=x2+y2 не относится к известному типу дифференциальных уравнений I порядка. Решим уравнение двумя способами:

1. с помощью рядов;

2. графический (методом изоклин).

Считаем, что решение y=f(x) допускает разложение в ряд Маклóрена

.

Определим первые шесть слагаемых. Вычислим коэффициенты:

yˈ0=x2+y2=0,04;

yˈˈ(0)=2x+2yyˈ=0,016;

yˈˈˈ0=2+2yˈyˈ+2yyˈˈ=2,0096;

y40=23yˈyˈˈ+yyˈˈˈ=2,897;

y50=2(3yˈˈ2+4yˈy3+yy4)=4,124.

Таким образом, получили приближённое решение

y=0,2+0,04x+0,008x2+0,335x3+0,121x4+0,034x5.

Построим кривую, соответствующую найденному решению при x = {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. Для этого используем систему компьютерной математики MathCAD (рис. 1).

Рис. 1

Теперь решим это же уравнение графически. Построим поле направлений дифференциального уравнения, изображая изоклины: с=x2+y2, (c ≥ 0).

Изоклины – семейство окружностей с центром (0;0) и радиусом с.

1) c=0: x2+y2=0 – уравнение определяет точку (0;0) в которой tgα=0, значит α=0;

2) c=1: x2+y2=1, вдоль этой изоклины отрезки поля имеют угловой коэффициент tg(α)=1, т.е. α=arctg(1) α=π4;

3) c=4: x2+y2=4, tgα=4, α=arctg(4)≈76°;

4) c=9: x2+y2=9, tgα=9, α=arctg(9)≈84°;

5) c=16: x2+y2= 16, tgα=16, α=arctg(16)≈86°;

6) c=25: x2+y2=25, tgα=25, α=arctg(25)≈88°.

Используя найденные значения, построим изоклины и поле направлений (рис. 2). Далее можно провести приближённое графическое решение.

Рис. 2

Сопоставив два приближённых решения, приходим к выводу, что они графически совпадают.

Литература:

1. Калюжный Д.А., Светличная В.Б. Решение операционным способом дифференциальных уравнений с импульсной правой частью // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6 . – С. 100-101;

URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=10001201

1. Любимова О.В., Самодьянова А.С., Матвеева Т.А. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4 . – С. 49-49;

URL: www.rae.ru/use/?section=content&op=show_article&article_id=9999089

1. Светличная В.Б., Мальцев А.В., Рубцов А.А. ПОИСК ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ИЗВЕСТНЫМ ЧАСТНЫМ РЕШЕНИЯМ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5 (2). – С. 199-200;

URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=10002680

1. Светличная В.Б., Матюнина Е.В. РАЗНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5 (2). – С. 195-196;

URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id=10002676

Код для цитирования: Скопировать