VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Назовем набор клеток диаграммой,из которого каждая клетка имеет хотя бы одну общую границу (сторону) или вершину с другими клетками из этого набора. Строкой в диаграмме назовем совокупность клеток расположенных вдоль одной горизонтальной прямой. Длина строки -это количество клеток в ней.

Определение 1.Диаграмма,в которой каждая строка начинается с самой крайней левой позиции и имеет длину  не более  чем длина предыдущей строки, т.е. строки стоящая непосредственно выше данной, называется диаграммой Юнга.

Из определении ясно, что строка имеющая наибольшую длину или строки имеющие одинаковые длины большие чем длины остальных строк и  находятся на верхней части диаграммы.

Рисунок 1-а) Диаграмма Юнга;  б) Таблица на диаграмме Юнга

 Определение 2. Диаграмма Юнга, заполненная целыми положительными числами по определенному правилу: 1) неубывающая по строкам; 2) возрастающая по столбцам называется таблицей Юнга.

Если в диаграмме Юнга каждую клетку заменить точками на середине этих клеток, то она называется диаграммой Ферре.

Диаграмма Юнга или Ферре связаны разбиением числа таким образом:

Количество клеток в каждой строке -слагаемое в разбиении числа , сумма которых равна .

На рис.1 б) таблица Юнга соответствует следующему разбиению числа 25:

Обозначим некоторое разбиение числа  через , а элементыразбиении, тогда разбиение можно выразить в следующем виде:

Выше приведенное разбиение числа 25 можно написать в виде . Такая запись задает форму диаграммы Юнга. Например, если задано  разбиение , то диаграмма Юнга имеет следующую форму:

 Рисунок 2-Диаграмма Юнга формы

 Таблица Юнга называется стандартной, если она заполнена числами от 1 до , так что каждое число входит в таблицу только один раз:

 

                                а)                                     б)   

Рисунок 3-а) стандартная, б) нестандартная таблицы, заполненные в форму (5,4,3,2,1)

Пусть задана некоторая диаграмма Юнга формы Из этой диаграммы отбрасываем диаграмму Юнга формы , которая является частью исходной диаграммы, по следующим правилам: клетки строк от 1 до , исходной диаграммы формыделится на две группы, путем отделения (разрыва)  в определенном участке, при этом полученные левые части всех строк в совокупности должны образовать новую диаграмму формы .

Оставшаяся часть после отделения от исходной диаграммы формы новую диаграмму формы , обозначается  и называется косой диаграммой Юнга.

Рисунок 4-Получения косой диаграммы (выделена зеленым цветом) из исходной диаграммы Юнга формы (5,4,3,2,1) путем отброса диаграммы формы (3,2,1) (выделена красным цветом).

 

Задача 1.  Пусть функция, заданная на диаграмме Юнга, где некоторая клетка этой диаграммы, т.е. функция клеток. Значения данной  функции для каждого  определяется следующим образом: если  и  самая нижняя и самая правая клетки строки и столбца, на пересечении которых находится клетка , соответственно, то  количество путей от клетки  к клетке , образованные движениями от клетки к клетке горизонтально влево или вертикально вверх.

Если в каждую клетку запишем значение ее функции определенное вышеуказанным способом, то получаем таблицу Юнга.

 

Рисунок 5-Значения функции

 

Пусть длина строк в таблице заполненная указанным образом, имеет следующие значения (строки пронумерованы сверху вниз): . По определению диаграммы Юнга они удовлетворяют неравенствам:

Пусть наибольшее число элементов разбиении где все . На рисунках 4 и 5 такое число равно 3.

Рассмотрим следующую квадратную матрицу элементами которой являются элементы массива, полученные из вырезки  от исходной диаграммы формы . Вычислим определитель этой матрицы.

Лемма. .

Доказательство приведем непосредственным вычислением. Для элементов матрицы можно написать следующую формулу:

Легко можно показать, что

В частном случае, для матрица имеет вид:

 определителькоторой равна 1. 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.                     У.Фултон.  Таблицы Юнга и их приложения у теории представлений и геометрии/ Пер. с англ. - М.: МЦНМО, 2006. -328 с.

2.                     Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции/ Пер. с англ. -М.: Мир,  2013. - 767 с.

3.                     Алданов Е.С., Нурлыбай Н.А., Базарбаев С.К.Задача оразбиений и диаграммы Юнга/  Материалы VII Международной студенческой электронной научной конференции«Студенческий научный форум 2014», http://scienceforum.ru/2014/

Код для цитирования: Скопировать