VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Геометрия – это одна из древнейших наук. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до н. э. писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека»[2].

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до н. э. греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В XVII-XVIII вв. зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью методов математического анализа. Развитие военного дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на плоском чертеже, что послужило развитию начертательной геометрии.

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине XIX в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

В связи с этим, актуальным является знакомство с историческим развитием геометрии.

Цель исследования: мы хотим показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе и вузе, существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского, которая существенно отличается от евклидовой.

Геометрия Лобачевского - это интересный, необычный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие основные задачи:

-рассмотреть основные положения геометрии Евклида;

-ознакомиться с основами геометрии Лобачевского;

-показать непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Задача об обосновании геометрии в древности представляла лишь проявление в области геометрии общих воззрений, получивших отчетливое выражение в школе Платона. Согласно тенденциям Платона всякая научная дисциплина должна развиваться из небольшого числа исходных положений, составляющих ее основу.

До Платона составлением начал геометрии занимался Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V в. до н.э.; в эпоху Платона этим занимались Лев и Евдокс; в самой Академии Платона было в ходу сочинение Тедия. Ни одно из сочинений этих авторов по геометрии до нас не дошло; все они были забыты, когда появилось замечательное сочинение, содержавшее изложение основ геометрии – «Начала» Евклида, состоящее из 13 книг [3].

Исходными положениями, на которых Евклид строит систему геометрии, служат определения, аксиомы и постулаты. Каждая книга начинается определениями тех терминов, которые в ней появляются.

Лучшие современные знатоки Евклида Гейберг и Менге, выпустившие в Германии полное собрание сочинений Евклида на греческом и латинском языках, и Гис, выпустивший «Начала» на английском языке в трех томах с обстоятельными комментариями [9], сходятся на следующем списке аксиом и постулатов:

Постулаты:

1. Нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было повести прямую линию.

2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно.

3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

4. И чтобы все прямые углы были равны.

5. И чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Разные порознь третьему, равны между содой.

2. И если к равным придадим равные, то получим равные.

3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

4. (И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.)

5. (И если удвоим равные, то получим равные.)

6. (И половины равных равны между собой.)

7. И совмещающиеся равны.

8. И целое больше части.

9. (И две прямые не могут заключать пространства.)

Относительно аксиом, заключенных в скобки, Гейберг и Менге сомневаются, принадлежат ли они Евклиду; Гис их вовсе опускает [3].

Один из постулатов Евклида, занимающий в его перечне последнее V место, привлекал исключительное внимание комментаторов – это так называемый постулат о параллельных линиях. Он также хорошо известен всякому, кто изучал геометрию.

В наших учебниках [1] этот постулат обыкновенно приводят в эквивалентной, но более простой форме: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

V постулат как бы делил геометрию на две существенно различные части: первая часть (абсолютная геометрия) от V постулата не зависит, вторая часть (евклидова геометрия) вся основана на этом постулате в том смысле, что ни одно предложение этой части не поддается доказательству, не опирающемуся на этот постулат.

Эта своеобразная роль, которую играет V постулат Евклида, и была причиной того, что стремление «доказать постулат» охватило широкие круги математиков. Многим казалось, что они уже достигли цели; некоторые из предложенных доказательств действительно отличались исключительным остроумием. Но тщательный анализ неизменно обнаруживал ошибку, иногда глубоко скрытую.

К доказательству постулата подходили с различных сторон и различными путями. Так, три геометра, иезуит Саккери в Италии, философ и математик Ламберт в Германии и французский геометр Лежандр, независимо друг от друга, ставили своей задачей доказать, не опираясь на постулат о параллельных линиях, теорему о сумме углов треугольника. Но и Саккери и Лежандр допустили здесь ошибки, и только Ламберт признал разрешение данной задачи для себя непреодолимой.

«Доказательства евклидова постулата,- говорит он,- могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат» [3].

Приведем еще несколько строк из письма Гаусса, характерных для тех настроений, которые по во­просу о теории параллельных линий сложились в начале XIX в., через 1200 лет после Прокла, так убежденно утверждавшего, что постулат о параллельных надо изъять из числа недоказуемых положений.

В 1816 г. Гаусс поместил в Геттингенском библиогра­фическом журнале рецензию на две брошюры, посвящен­ные доказательству постулата о параллельных линиях. Рецензия начинается следующими словами:

«В области математики найдется мало вещей, о которых было бы написано так много, как о про­беле в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появлялась бы новая попытка восполнить этот пробел. И все же, если хотим говорить честно, и открыто, то нужно сказать, что по существу мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Евклид, за 2000 лет.

Такое откровенное и открытое признание, на нашвзгляд, более соответствует достоинству науки, чем тщетные попытки скрыть этот пробел, восполнить который мы не в состоянии бессодержательным сплетением призрачных доказательств» [3,8].

Люди, затратившие много сил и времени на бесплодные попытки доказать постулат, впадали в от­чаяние. Это ярко выражено в следующем отрывке письма венгерского профессора Фаркаша Больаи, которое он написал своему сыну Яношу, когда узнал, что тот увлечен задачей о параллельных линиях.

«Молю тебя, не делай только и ты попыток одо­леть теорию параллельных линий; ты затратишь на это всё свое время, а предложения этого вы не дока­жете все вместе. Не пытайся одолеть теорию парал­лельных линий ни тем способом, который ты сооб­щаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувствен­ных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни» [3].

Таким отчаянием были проникнуты настроения человека, всю жизнь работавшего над этой проблемой. Но ему все-таки не удалось убедить своего сына отказаться от попыток доказать постулат о параллельных линиях. И это потому, что Янош принадлежал к числу немногих людей тонкой математической мысли, которые приходили к за­ключению, что постулат о параллельных линиях вовсе нельзя доказать, что отрицание его не ведет к противо­речию, а напротив того, в своем развитии приводит к свое­образной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида.

Новое учение, получившее название неевклидовой гео­метрии, впервые было опубликовано Н. И. Лобачевским в 1829 г. Первые попытки Лобачевского доказать V постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании физико-математического факультета Казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии». Доклад 1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1830 гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию».

Рассмотрим некоторые положения геометрии Лобачевского.

Основным пунктом, откуда начинается разделение геометрии на обычную евклидову («употребительную» по терминологии Лобачевского) и неевклидову («воображаемую» геометрию или «пангеометрию», по его же терминологии), является, как известно, постулат о параллельных линиях.

В основе обычной геометрии лежит предположение (аксиома, постулат), что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, опреде­ляемой этой точкой и прямой, не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Прямая ВВ' (рис. 1), проходя­щая через точку Р под прямым углом к перпендикуляру PQ, опущенному на АА', не пересекает прямой АА'; эта прямая в евклидовой геометрии, и назы­вается параллельной к АА'.

Рис. 1

В противоположность постулату Евклида, Лобачевский принимает в основу построения теории параллельных линий следующую аксиому [7]:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Отсюда непосредственно вытекает существование бес­конечного множества прямых, проходящих через одну и ту же точку и не пересекающих данную прямую. Пусть прямая CC' не пересекает АА'; тогда все прямые, проходящие внутри двух вертикальных углов: ВРС и В'РС', также не пересекаются с прямой АА'.

Из постулата Лобачевского непосред­ственно вытекает, что через точку Р, не лежащую на данной прямой АА' (рис.2), в плоскости, ими определяемой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекаю­щих АА'. Существуют две граничные прямые СС' и DD', разделяющие класс пересекающих прямых, лежащих в углах CPD и C'PD', от класса не пересекающих, про­ходящих внутри углов CPD' и DPC'. Эти прямые не пересекают прямую АА'. Прямые СС' и DD' Лобачевский и называет параллельными прямой АА' в точке P [7].

Рис. 2

Таким образом, через каждую точку Р плоскости про­ходят две прямые, параллельные данной: прямая DD', параллельная АА' в направлении А'А, и прямая СС', параллельная той же прямой в противоположном напра­влении АА'. Обе эти прямые расположены симметрично относительно перпендикуляра PQ, опущенного на АА'. Угол C'PQ Лобачевский называет углом параллельности. Он является функцией длины перпендикуляра PQ, которую Лобачевский назвал так: C'PQ=П(PQ). Лобачевский показал, что с увеличением длины отрезка PQ угол параллельности уменьшается [6].

В геометрии Лобачевского критерий параллельности выражается более сложно, чем в евклидовой геометрии. Чтобы доказать, что, например, прямая СС' в точке Р параллельна АА' в на­правлении АА', необходимо: 1) установить факт непересечения этих прямых, 2) показать, что СС' в точке Р является граничной прямой; это последнее устанавливается обычно так («критерий угла»): проводим прямую PR, пересекающую АА', и рассматриваем угол C'PR, кото­рый своим отверстием обращен в сторону параллель­ности; если каждый луч, имеющий вершину в точ­ке Р и проходящий внутри этого угла, пересекает луч RA', то прямая СС' параллельна АА' в точке Р в направлении АА'.

Основное свойство параллелизма: Н. И. Лобачевский доказывает, что прямая, параллельная данной прямой в некоторой своей точке, параллельна ей во всех своих точках [7].

Рассмотрим еще одно предложение из работы Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий»: Чем далее параллельные линии продолжаются в сторону параллельности, тем более они друг к другу приближаются [4].

Рис. 3

К прямой АВ восста­вим два перпендикуляра АС = BD и конечные их точки соединим пря­мой линией CD (рис. 3). Тогда четырех­угольник CABD будет иметь два прямых угла при А и В, а при С и D - два острых угла (здесь Лобачевский ссылается на ранее доказанное предложение: если два перпендикуляра к одной и той же прямой линии параллельны между собой, то в прямолинейных треугольниках сумма трех углов равна π) [4], которые равны между собой, как в этом легко убедиться, налагая этот четырехугольник на самого себя так, чтобы линия BD упала на АС, а АС - на BD. Разделим АВ пополам и в точке деления Е восставим перпендикуляр ЕF к АВ. Он должен быть также перпендикулярен к CD, потому что четырехугольники CAEF и FEBD покрывают друг друга, если наложим их друг на друга так, чтобы линия FE осталась в том же положении. Вследствие этого линия CD не может быть параллельна АВ, параллель же к последней в точке С, именно CG, должна быть наклонена в сторону АВ и отсечет от перпендикуляра BD часть BG < СА. Так как точка С на линии CG произвольна, то отсюда следует, что CG тем более приближается к АВ, чем далее мы ее продолжаем.

Две прямые в плоскости Лобачевского могут или 1) пересекаться, или 2) быть параллельными, или 3) быть непересекающимися и непараллельными. В последнем слу­чае такие две прямые называются расходящимися. Приведем одну теорему [7].

Теорема. Две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого расстояния от точек одной прямой до другой возрастают безгра­нично при удалении их от общего перпендикуляра.

Пусть АА' и ВВ' - расходящиеся прямые (рис. 4). Возьмем на АА' произвольную точку С и проведем из нее лучи CD и СЕ, параллельные прямой ВВ'.

Оба эти луча лежат по одну сторону от АA' так как АА' и ВВ' — расходящиеся прямые.

FF' и GG' - перпендикуляры к прямой AA', параллельные соответственно лучам CD и CE; они будут параллельны и прямой BB' соответственно в направлениях BB' и B'B. Из середины H отрезка GF опускаем перпендикуляр HJ на BB'. Прямая HJ является общим перпендикуляром прямых AA' и BB'.

Лобачевским доказано, что расстояния FF' и GG', тем больше, чем дальше они от JH.

Рис.4

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°. Причем с увеличением длины сторон треугольника она уменьшается. В геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Если углы одного треугольника равны углам другого, то треугольники будут равны. При малых размерах фигур угол параллельности практически не отличается от прямого, а сумма углов треугольника мало отличается от 180°. Все теоремы и формулы геометрии Лобачевского в этом случае совпадают с соответствующими теоремами и формулами геометрии Евклида. В геометрии Лобачевского углы треугольника однозначно определяют длину его сторон [6].

Таковы только некоторые из основных идей и фактов геометрии Лобачевского.

Идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. Однако Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии, и всю жизнь искал оправдания своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо.

Гаусс, единственный крупный ученый, сумевший оценить Лобачевского по достоинству при его жизни, хотя и не решившись выступить публично в защиту новой геометрии, так как он отдавал себе ясный отчет в том, что эти идеи, несущие глубокий переворот в наиболее установившихся воззрениях, вызовут бурю негодования, которая обрушится на их про­возвестников. Поэтому Гаусс принял твердое решение не публиковать свои взгляды на основания геометрии и обязывал тех немногих людей, с которыми он этими воззрениями делился, хранить их в безусловной тайне. Своему решению он оставался, верен до конца жизни.

Не получил признание при жизни и гениальный венгерский математик Янош Больаи (1802-1860). Его «Appendix», содержащий основы неевклидовой геометрии, изложен исключительно сжато и схематично – вот одна из причин, сделавших это классическое произведение недоступным для его современников.

После того, как стало известно, что Гаусс считал геометрию Лобачевского логически вполне правильной, «неевклидова геометрия» (названная так именно Гауссом), привлекла к себе внимание многих математиков. Произведения Лобачевского и «Appendix» Больаи были переведены на французский, итальянский и другие языки. Однако противники неевклидовой геометрии продолжали относиться к ней с недоверием, утверждая, что она представляет собой сплошную фантазию, нелепость, которая рано или поздно будет обнаружена. Положение коренным образом изменилось, когда итальянский математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868 г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.6), на которых осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.5).

Рис. 5

Псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на которой выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d (рис.6). Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников [8].

Рис. 6

Итак, первой моделью планиметрии Лобачевского была интерпретация Бельтрами в 1868г., к которой позже, но из других соображений и в ином виде, пришел в 1870г. немецкий математик Феликс Клейн. Идею этой интерпретации можно усмотреть в приведенном рисунке (рис.7). За плоскость принимается какой-либо круг, за точки - точки принадлежащие этому кругу, за прямые - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Оказывается, что в этой модели имеют место все аксиомы абсолютной геометрии, то есть, аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности. Что же касается аксиомы параллельности, то в этой модели имеет место не постулат Евклида, а именно, аксиома Лобачевского: через точку С, не лежащую на данной прямой (хорде) АВ, можно провести хотя бы 2 прямые (хорды), не пересекающие данную.

Рис. 7

Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Ее аксиомы и теоремы не могут быть противоречивыми, так как каждой из них соответствует факт евклидовой геометрии внутри круга. Если в геометрии Лобачевского встретились бы две противоречащие друг другу теоремы, то, переводя эти теоремы на язык обычной геометрии посредством модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими теоремами в геометрии Евклида, то есть, построением модели, Клейн показал, что геометрия Лобачевского непротиворечива в такой же мере, в какой непротиворечива геометрия Евклида.

Другую модель геометрии Лобачевского построил в 1882 г. французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), применивший ее к решению некоторых важных задач теории функций комплексного переменного. В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x (рис.8). Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Рис. 8

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту. Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD.

В 1854 г. один из крупнейших математиков ХIX в. Б. Риман (1826-1866) в своей диссертационной лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» определил три геометрии, наиболее близкие к «школьной» (он их назвал евклидовой, гиперболической и эллиптической). Впоследствии выяснилось, что гиперболическая геометрия – это давно уже открытая (но Риману ранее незнакомая) неевклидова геометрия Лобачевского, а эллиптическая – та, которую ныне часто называют неевклидовой геометрией Римана [5].

В качестве модели планиметрии Римана может служить сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку». На сфере нет прямых линий, но имеются так называемые большие окружности (рис. 9), то есть окружности с центром в центре сферы, которые в качестве геодезических ее линий выполняют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшие расстояния между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому, как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому, как две точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг больших окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости можно образовать сферические треугольники, четырехугольники, многоугольники. Одним словом, большие окружности сферы – это ее «прямые».

Рис. 9

Однако, наряду с некоторыми сходствами, имеется и большое различие между сферической геометрией с одной стороны и геометрией Евклида и Лобачевского с другой. В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны, имея одну и ту же длину. Сумма углов сферического треугольника, как известно, больше 2d, каждые две прямые имеют одну общую точку, то есть, на римановой плоскости нет параллельных прямых.

Геометрия Лобачевского и, открытая за нею неевклидова геометрия Римана, прочно вошли в современную науку, геометрия Евклида сохраняет свое полное значение в вопросах практики, строительства и техники. Неевклидовы геометрии находят себе применение в некоторых более сложных теоретических и практических вопросах современной математики, физики и технике [2].

Лобачевский указывал на связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учебник для общеобразоват. учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов.- Москва: Просвещение, 2004.- 335 с.

2. Глейзер Г. И. История математики в школе: пособие для учителей/ Г.И.Глейзер.- Москва: Просвещение,1982.-240 с.

3. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия: общедоступные очерки/ В.Ф. Каган.-Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. - 305 с.

4. Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий: монография/ Н.И. Лобачевский.- Москва: Издательство Академии наук СССР, 1945.- 173 с.

5. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: учебник/И.Л. Никольская.- Москва: Просвещение, 1991.- 383 с.

6. Петраков И.С. Математические кружки: книга для учителя/ И.С. Петраков.-Москва: Просвещение, 1987.- 225 с.

7. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского: учебное пособие.- Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955.- 80 с.

8. C. F. Gauss, Besprechung von Schwad (1814) und Metternich (1815). Gottingenische Gelehrte Anzeigen 63 (20 April), 1816.

9. Euclidis opera omnia. ediderunt I.L. Heiberg et H. Menge. Leipzig, 1883-1885 семь томов, из которых первые пять содержат «Начала». T.L. Heath, The thirteen bocks of Euclids elements. Translated from the text of Heiberg with introduction and commentary. Cambridge, 1908.

Код для цитирования: Скопировать