VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Задание 1

В данной теоретико-практической работе будут рассмотрены следующие показатели с 26.06.2014 по 13.11.2014 с периодом в один день: средневзвешенный курс рубля к доллару¹ (эндогенный показатель Y), валютные интервенции Центрального Банка² и объем торгов¹ на Единой Торговой Системе¹ (экзогенные показатели X и Z). Количество наблюдений - 100. Их выбором послужила текущая ситуация, а именно кризис на Украине и связанный с ней политический и экономический конфликт, а также вытекающие из этого последствия: курс национальной валюты по отношению к доллару начал падать, в ответ на эти действия ЦБ РФ проводил валютные интервенции, чтобы замедлить стремительное падение курса, что также являлось одной из причин увеличения объема торгов на биржевом и внебиржевом рынке в особенности. Эта взаимосвязь и является мотивом моего решения взять в качестве наблюдений вышеописанные показатели.

В 1 задании будут рассмотрены только 2 показателя, т.е. один экзогенный и одни эндогенный.

I. Построим диаграмму рассеивания, используя статистические данные по X и Y:

Здесь мы видим, что Центральный Банк больше всего реагировал, то есть проводил валютные интервенции, при курсе от 34 до 40 (руб./долл.) и, после, заметно сократил выход на рынок, так как данный метод не помогал в сложившейся ситуации, и необходимо было менять тактику. Что собственно и произошло: ЦБ отменил валютный коридор и прекратил проводить частые валютные интервенции, а также предупреждать о них.

II. Рассмотрим эконометрические модели парной регрессии на основе следующих функций:

А) линейной Y=a₀+a₁X ;

Y=a₀+a₁X + u

E (u | X) = 0, E (u² | X) = σu2

Б) степенной Y=a₀X;

Y=a₀X _{(u + 1)}

E (u | X) = 0, E (u² | X) = σu2

В) гиперболической Y=a₀+a₁/X.

Y=a₀+a₁/X + u

E (u | 1/X) = 0, E (u² | 1/X) = σu2

где, Y – средневзвешенный курс (руб./долл.),

X₁- объем торгов на ЕТС (Единая торговая система) (млн. руб.),

Для каждой модели оценим качество спецификации при помощи F- теста и дадим экономическое объяснение значения R².

Показатель F вычисляется по формуле:

F = R2k(1- R2)(n-k+1) , где k - количество регрессоров в модели (k = 1), n - объем выборки (n = 100), R² - коэффициент детерминации находится с помощью функции ЛИНЕЙН в Excel, который стоит в третьей строчке первого столбца.

Показатель F_крит. вычисляется через функцию в Excel, которая называется FРАСПОБР, где степени свободы вычисляются: v₁ = k = 1, v₂ = n - (k + 1) = 98 и вероятностью - 0.95. После нахождения F и F_крит проверяем справедливость неравенства

F ≤ F_крит

Если оно справедливо, то принять гипотезу (H₀: a₁ = a₂ = ... = a_k = 0 - ситуация совершенно плохой спецификации модели) и сделать вывод о неудовлетворительном качестве регрессии, т.е. об отсутствии какой-либо объясняющей способности регрессоров в рамках модели.

Напротив, когда неравенство несправедливо - следует отклонить гипотезу в сторону альтернативы. Другими словами, сделать вывод о том, что качество регрессии удовлетворительно, т.е. регрессоры в рамках линейной модели обладают способностью объяснять значения эндогенной переменной y.

а) В результате проделанных вычислений R² = 0,27, что говорит о плохой спецификации, но при этом было бы неправильно делать окончательное решение только на основе коэффициента детерминации, т.к. он зависит от выборки (y, X) и поэтому является случайной переменной, поэтому был проведен F-тест, где F = 35,63 > F_кр.= 0,0039, что в свою очередь говорит о том, что регрессор в рамках линейной модели обладает способностью объяснить значение эндогенной переменной Y.

б) В результате проделанных вычислений R² = 0,26, что говорит о плохой спецификации, но при этом было бы неправильно делать окончательное решение только на основе коэффициента детерминации, т.к. он зависит от выборки (y, X) и поэтому является случайной переменной, поэтому был проведен F-тест, где F = 35,02 > F_кр.= 0,0039, что в свою очередь говорит о том, что регрессор в рамках линейной модели обладает способностью объяснить значение эндогенной переменной Y.

Хочу также отметить, что данный тест предназначен для функций линейного вида, поэтому я "линеаризовал" данное уравнение путем его логарифмирования, который будет описан более подробно в III пункте.

в) В результате проделанных вычислений R² = 0,23, что говорит о плохой спецификации, но при этом было бы неправильно делать окончательное решение только на основе коэффициента детерминации, т.к. он зависит от выборки (y, X) и поэтому является случайной переменной, поэтому был проведен F-тест, где F = 28,9 > F_кр.= 0,0039, что в свою очередь говорит о том, что регрессор в рамках линейной модели обладает способностью объяснить значение эндогенной переменной Y.

III. Проверка адекватности полученных моделей (с 95-% вероятностью) через интервальное прогнозирование.

Шаг 1. Результаты наблюдений объекта-оригинала (выборку) следует разделить на два класса. В первый класс, именуемый, как известно, обучающей выборкой, включить основной объем результатов наблюдений объекта-оригинала (90 - 95% выборки). Оставшиеся результаты наблюдений (Y_13.11.2014; X_13.11.2014) составят контролирующую выборку.

Шаг 2. По обучающей выборке (y, X) оценить модель. Найти среднеквадратичную ошибку σu через функцию ЛИНЕЙН в Excel, ошибку прогноза по следующей формуле

Sy0= σu q0+ 1,

и показатели q₀ -

q0 = 1n + (x2- x)2i=1n(xi- x)2 - для парной регрессии

q0 = X0 (X^TX)^-1X0T- для множественной регрессии

Шаг 3. Задаться доверительной вероятностью 1 - а и по значениям регрессоров, входящих в контролирующую выборку (X_13.11.2014), построить доверительные интервалы для соответствующих этим регрессорам значений эндогенной переменной модели (Y_13.11.2014). Доверительные интервалы рассчитываются по следующим формулам

_y0min = y0 - Sy0 * t_кр.

_y0max = y0 + Sy0 * t_кр.

, где t_кр. вычисляется через функцию в Excel СТЬЮДРАСПОБР с вероятностью 0,05 v₂ = n - (k +1) = 98

Шаг 4. Проверить, попадают ли значения эндогенной переменной из контролирующей выборки (Y_13.11.2014) в соответствующие доверительные интервалы (y13.11.2014min, y13.11.2014max). Если да, то признать оцененную модель адекватной, если же нет, то оцененная модель не может быть признана адекватной и подлежит доработке.

а) Y = 32,93+ 0.001X + U

(Sa0= 0.81) (Sa1= 0.00016) (σu = 2.72)

Так как значение Y_13.11.2014 = 46,36 эндогенной переменной не попадает в доверительный интервал [31,54; 42,42], то делаем вывод, что оцененная модель не адекватна и, следовательно, не может быть использована.

б) Для степенной функции для начала преобразуем модель путем логарифмирования к модели множественной линейной регрессии.

Y = a₀X _{(1 + u)}

E (u| X) = 0, E (u² | X) = σu2

lnY = lna₀ + a₁lnX + u

E (u| X) = 0, E (u2 | X) = σu2

Теперь проводим оценку через функцию ЛИНЕЙН как для обычной линейной функции и получаем оцененную модель

lnY = 2.52 + 0.13lnX + U

(Sa0= 0.18) (Sa1= 0.02) (σu = 0.07)

и конечную оцененную модель, преобразованную обратно в степенную

Y = 12, 45 + X^{0, 13}(1 + u)

(Sa0= 2,19) (Sa1= 0.02) (σu = 0.07)

В итоге, так как значение Y_13.11.2014 = 3,84 эндогенной переменной не попадает в доверительный интервал [13,4; 13,68], то делаем вывод, что оцененная модель не адекватна и, следовательно, не может быть использована.

в) Y = 42,72 + (-20837)X + U

(Sa0= 0.91) (Sa1= 3665,107) (σu = 2.82)

Так как значение Y_13.11.2014 = 46,36 эндогенной переменной не попадает в доверительный интервал [31,82; 43,1], то делаем вывод, что оцененная модель не адекватна и, следовательно, не может быть использована.

IV. Исследование адекватности условий теоремы Гаусса-Маркова для случайных остатков каждой модели из пункта II. Сделать выводы.

Тест Дарбина-Уотсона

Шаг 1. По уравнениям наблюдений объекта следует вычислить МНК - оценки и оценки случайных остатков

Шаг 2. Вычислить величину DW = t=2n(ut-ut-1)2t=1nut2

Шаг 3. Из таблицы, составленной Дарбином и Уотсоном, выбираем две величины d_L и d_U, исходя из количества уравнений n = 100 и количеству объясняющих переменных k =1. В результате d_L = 1,65 и d_U = 1,69

Шаг 4. Проверить, в какое из пяти подмножеств M₁, M₂, M₃, M₄, M₅, интервала (0, 4) попала величина DW. При проведении вышеописанных шагов получилось:

а) Величина DW = 0,29 попала в множество M₁ = (0, d_L], поэтому принимается альтернативная гипотеза H₁: Cov (u_i, u_j) > 0 при j = i - 1

б) Величина DW = 1,55E-05 попала в множество M₁ = (0, d_L], поэтому принимается альтернативная гипотеза H₁: Cov (u_i, u_j) > 0 при j = i - 1

в) Величина DW = 0,29 попала в множество M₁ = (0, d_L], поэтому принимается альтернативная гипотеза H₁: Cov (u_i, u_j) > 0 при j = i - 1

В итоге во всех трех случаях случайные остатки подвержены положительной автокорреляции, что говорит об ошибочной спецификации модели.

Тест Голдфилда-Квандта

Шаг 1.Уравнение наблюдений упорядочим по возрастанию суммы модулей значений предопределенных переменных модели.

Шаг 2. По первым n' упорядоченным уравнениям наблюдений объекта (где n' удовлетворяет условиям: k + 1 < n'; n'  0.3n; k + 1 - количество оцениваемых коэффициентов функции регрессии) вычислить МНК-оценки параметров модели и величину

ESS₁ = i=1n'ui2, где u_i = y_i-y_i - МНК - оценка случайного возмущения u_i

Шаг 3. По последним n' упорядоченным уравнениям наблюдений вычислить МНК - оценки параметров модели и величину ESS, которую обозначим ESS₂

Шаг 4. Вычислить статистику GQ = ESS1ESS2

Шаг 5. Задаться уровнем значимости а (=0.05) и с помощью функции FРАСПОБР Excel при количествах степеней свободы V₁, V₂, где v₁ = v₂ = n' - (k + 1), определить (1 - а) - квантиль, F_крит = F_1-a распределения Фишера

Шаг 6. Принять гипотезу о равенстве дисперсий случайных остатков в уравнении наблюдений, если справедливы неравенства:

GQ≤F_крит

GQ^-1≤F_крит

В нашем случае:

а) Неравенства выглядят следующим образом: GQ = 0,0095 < F_крит = 0,55; GQ^-1 = 10,47 > F_крит = 0,55, следовательно случайный остаток можно полагать гетероскедастичным.

б) Неравенства выглядят следующим образом: GQ = 0,15 < F_крит = 0,55; GQ^-1 = 6,9 > F_крит = 0,55, следовательно случайный остаток можно полагать гетероскедастичным.

в) Неравенства выглядят следующим образом: GQ = 0,1 < F_крит = 0,55; GQ^-1 = 10,5 > F_крит = 0,55, следовательно случайный остаток можно полагать гетероскедастичным.

Тест на нулевое математическое ожидание

В данном случае мы можем вычислить только прогнозное математическое ожидание случайных остатков по формуле:

M(Ut)= u, u = y - y

Соответственно, если данный показатель приближен к нулю, то тест считается выполненным.

а) M= -2,70006E-15 - выполняется

б) M= -10,20928173 - не выполняется

в) M= -0,56049177 - не выполняется

V. Выводы

	Линейная	Степенная	Гиперболическая
F-тест	+	+	+
R2	-	-	-
Адекватность	-	-	-
Тест Голдфилда-Квандта	-	-	-
Тест Дарбина-Уотсона	-	-	-
M(Ut) 0	+	-	-

Подводя итог, можно утверждать, что ни одна из приведенных моделей не объясняет выбранные показатели. На самом деле экономическая зависимость между выбранными мной показателями существует.

Задание 2.

В данном задании был добавлен еще один показатель - валютные интервенции Центрального Банка. Те дни, где ЦБ не осуществлял выхода на рынок, было поставлено значение равное 1. Статистические данные взяты с 26.06.2014 по 13.11.2014. Получившуюся модель множественной регрессии проверим на качественность спецификации и адекватность, используя интервальный метод прогнозирования.

Y=a₀+a₁X+а₂Z+u

E (u | X, Z) = 0, E (u² | X, Z) = σu2

где Y – средневзвешенный курс (руб./долл.),

X₁- объем торгов на ЕТС (Единая торговая система) (млн. руб.),

X₂- объем валютных интервенций ЦБ (млн. руб.).

I. Проверка качественности модели с помощью коэффициента детерминации и F-теста.

В результате проделанных вычислений R² = 0,30, что говорит о "средней или заметной" спецификации, но при этом было бы неправильно делать окончательное решение только на основе коэффициента детерминации, т.к. он зависит от выборки (y, X) и поэтому является случайной переменной, поэтому был проведен F-тест, где F = 41,93 > F_кр.= 0,05, что в свою очередь говорит о том, что регрессор в рамках линейной модели обладает способностью объяснить значение эндогенной переменной Y.

II. Проверка на адекватность линейной модели множественной регрессии интервальным методом.

Методология процесса решения описана в задании 1. Единственное отличие - подсчет показателя q₀. В данном случае рассчитывается по формуле для множественной регрессии (см. задание 1 пункт III).

Так как значение Y_13.11.2014 = 46,36 эндогенной переменной не попадает в доверительный интервал [24,5; 35,12], то делаем вывод, что оцененная модель не адекватна и, следовательно, не может быть использована.

Y = 33,93 +0,00075X - 0,001Z+ U

(Sa0= 0.89) (Sa1= 0.0002) (Sa1= 0.00044) (σu = 2.66)

В итоге хочу отметить, что статистические данные были взяты за короткий срок, но сама выборка была очень большая, чтобы показать точность наблюдений. Сами показатели: курс рубля, объем торгов на бирже, и валютные интервенции Центрального Банка зависимы, исходя из данных полученных при проверке модели на качество (как в 1, так и во 2 задании), но все же данную спецификацию использовать нельзя, так как модель не адекватна и предпосылки Гаусса-Маркова не выполняются (задание 1). Также можно предположить, что более заметная связь будет если взять не биржевой валютный рынок, а внебиржевой, так как банки, в связи с большими задолженностями по зарубежным кредитам и нехваткой денежных средств (из-за санкций) вынуждены торговать против рубля, что, на мой взгляд, провоцирует его падение и кроме того объемы операций кредитных организаций значительно больше.

Список источников:

• http://www.cbr.ru/hd_base/default.aspx?prtid=valint_day&pid=idkp_br&sid=ITM_45393 - сайт ЦБ по объемам валютных интервенций

• http://www.cbr.ru/hd_base/?PrtID=micex_doc&pid=finr&sid=m1_4 - сайт ЦБ по курсу (руб./долл.) и объему торгов на ЕТС

• Эконометрика: учеб. пособие /В.А. Бывшев. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 480 с.: ил.

1^ - показатели были взяты с расчетами на "завтра" (сайт ЦБ: http://www.cbr.ru/hd_base/default.aspx?PrtID=micex_doc&pid=finr&sid=m1_4)

2^ - (сайт ЦБ) http://www.cbr.ru/hd_base/default.aspx?prtid=valint_day&pid=idkp_br&sid=ITM_45393

Код для цитирования: Скопировать