VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Визуализация играет важную роль в правильном и эффективном решении геометрических задач в пространстве. В школьном курсе геометрии изучаются тела вращения, которые имеют широкое применение в науке и технике. Именно в этих задачах правильное построение чертежа составляет основную проблему решения. Принимая во внимание трудоемкость ручного построения чертежей, а также невозможность изменения на бумаге параметров полученных фигур (например, угла поворота, ракурса и др.), эффективным является использование компьютера. Таким образом, разбор и анализ различных методов визуализации трехмерных поверхностей средствами информационных технологий является актуальной проблемой.

В настоящее время эффективным средством, которое позволяет не только строить трехмерные поверхности, но и автоматизировать необходимые расчеты являются математические пакеты. К ним относится пакет MathCAD имеет, который имеет мощный математический аппарат, позволяющий строить графики и поверхности, выполнять символьные вычисления, решать системы уравнений и др.

В настоящей работе проанализированы методы визуализации, которые используются в системе MathCad и их применение в решении геометрических задач на тела вращения.

Задачи о нахождении значений основных характеристик тел вращений

а) Нахождение площади поверхности

В геометрии для нахождения площади известных поверхностей второго порядка используются формулы. Так, формула площади сферы и шара , круглого цилиндра , конуса - , усеченного конуса - .

Если же тело получено вращением какой-либо кривой вокруг оси, то использую следующую общую формулу, содержащую определенный интеграл:

Часто в рассматриваемом типе задач чертежи не обязательны, но всегда полезно хотя бы иметь представление о поверхности вращения.

Пример 1. Найти площадь полной поверхности конуса, если его высота в 3 раза больше его радиуса, а радиус основания равен 2.

Решение задачи представлено на рис. 1.

Рис.1. Решение задачи о нахождении площади конуса

Пример 2. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ох дуги параболы у = x^3/3 при -2 < x < 2.

Решение задачи и визуальное представление нужной нам фигуры представлено на рис. 2.

Рис. 2. Решение задачи о нахождении площади

б) Нахождение объема тела вращения

Другим, но не менее важным типом задач являются задачи на нахождение объёма. Они решаются разными способами, для каждой фигуры – своя формула. Подобные задачи вполне могут встретиться и в реальной жизни.

Пример 3. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси Оy фигуры ограниченной параболой , осью абсцисс и прямыми x=0, x=1

Рис.3. Решение задачи на нахождение объема тела в Mathcad

Задачи на соотношение тел вращений в пространстве

в) Вписанные и описанные фигуры

Пример 4. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Визуализация решения задачи представлена на рис. 4. Само решение задачи практически устное: из формул объема шара и конуса видно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса. Таким образом, искомый объём равен 24.

Рис. 41. Построение конуса, вписанного в шар

Задачи на сечение тел вращения

Один из типов задач являются задачи на построение. Существует огромное множество вариаций: найти сечение тела вращения, найти отношение, в котором плоскость делит тело, отношение объемов частей тела и другие. Система Mathcad помогает лучше представить условия задачи. Рассмотрим на примере (рис. 5)

Пример 5. Найти площадь осевого сечения цилиндра, если радиус равен 5, а высота цилиндра 4.

Рис. 5. Решение задачи на сечение тела в Mathcad

Сравнительный анализ методов построения трехмерных поверхностей в контексте решения геометрических задач на тела вращения.

Метод	Суть	Достоинства	Недостатки	Применение
Построение поверхности по точкам с заданием матрицы значений.	Для задания поверхности, описанной матрицей значений в MathCad существует специальная функция matrix(m,n,f). Функция формирует матрицу, элементы которой равны значениям функции f(x,y), исходя из того условия, что x=i, y=j.	Довольно удобно использовать, если известны точки плоскости.	Ограниченное использование.	Построение поверхности; визуализация графиков.
Построение графика поверхности функции z(x,y) представленной в стандартном виде с явным заданием матрицы	В данном методе при построении графика поверхности, представленной функцией z(x,y) двух переменных необходимо определять матрицу М аппликат (высот z) ее точек.	Возможность точного задания границ поверхности.	Сложность определения матрицы аппликат для построения фигуры требуемого вида.	В задачах на построение, где требуется точное построение трехмерных поверхностей по заданным координатам.
Построение графика поверхности функции z(x,y) представленной в стандартном виде без явного задания матрицы	Применение встроенного мастера построения трехмерного графика MathCad.	Возможность быстрого построения подобных графиков для просмотра общего вида поверхности.	Необходимость дополнительного форматирования.	В задачах, где требуется общее представление о поверхности и визуализация не играет решающей роли.
Построение графика поверхности функции z(x,y) представленной в параметрическом виде с явным заданием матриц	Построение поверхности, заданной функцией в параметрическом виде. Совместное построение полученных матриц Х, Y, Z на одном графике.	Возможность построения трехмерных поверхностей, которые заданы неявно.	Громоздкость записи уравнения поверхности в параметрическом виде.	В задачах на комбинацию фигур.
Построение графика поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси	Получение объемных фигур вращая некоторую кривую вокруг той или иной оси. Построение этих фигур вращения сродни параметрически заданным поверхностям		Необходимость параметрической записи функции.	Незаменим в задачах, где требуется визуализировать поверхность, полученную путем вращения кривой вокруг оси. Полезен при построении комбинации тел вращений.
Построение графика поверхности путем изменения типа координатной плоскости	Искажение фигуры при изменении типа координат.	Упрощенное представление уравнений поверхностей.	Ограниченное применение.	Удобно использовать для быстрого построения эллиптических, конических и цилиндрических поверхностей.

Представление трехмерных поверхностей дается непросто многим людям, для этого необходимо развитое пространственное мышление. Автоматизированное построение таких поверхностей позволяет нам расширить знания, рассмотреть тот или иной 3D объект с разных сторон. В связи с тем, что тела вращения имеют большое практическое значение, актуальным было рассмотрение различных методов их построения.

Код для цитирования: Скопировать