VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике. Обобщением обычного преобразования Лапласа на дискретные функции является дискретное преобразование Лапласа (Z – преобразование), которое является основным математическим аппаратом при анализе линейных импульсных систем.

Известно, что динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях.

Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами удобно проводить методом Z – преобразования, аналогично схеме применения преобразования Лапласа к решению задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В результате применения этого метода к линейному разностному уравнению (или системе уравнений) с постоянными коэффициентами получаем уравнение (или систему уравнений) относительно изображения искомой ступенчатой функции, содержащее все начальные условия.

Пусть имеем комплекснозначную функцию f(t) действительного аргумента t, определенную для t≥0. Рассмотрим последовательность {f(n)} (n=0,1,2,…), которая обозначается f(n) и называется решетчатой функцией. Для отрицательных значений аргумента решетчатая функция равна нулю.

Решетчатая функция – это результат временного квантовая непрерывного сигнала, которая представляет значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени.

Дискретным преобразованием Лапласа (Z-преобразованием) решетчатой функции f(n) называется функция F*(p) комплексного аргумента p=S+iσ, определяемая равенством:

F*p=n=0e-npfn, (1)

Предполагается, что ряд справа в (1) сходится. Функция f(n) называется дискретным оригиналом, а F*(p) – ее изображением и обозначается символом: F*(p)÷f(n) или f(n)÷F*(P).

Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение:

fn+1+2fn=n, f0=0, (2)

Решение задачи (2) будем искать операционным методом, основанном на дискретном преобразовании Лапласа. Применим Z-преобразование к обеим частям уравнения (2).

Пусть f(n)÷F*(p). Применяя теорему опережения, имеем:

f(n+1)÷epF*(p).

С учетом соотношения:

n÷ ep(ep-1)2

приходим к операторному уравнению:

F*pep+2=epep-12 .

Отсюда находим изображение решения:

F*p=epep-12 ep+2. (3)

В случае, когда F*(p) есть правильная рациональная дробь относительно ep, решетчатую функцию f(n) будем искать в виде:

fn=kresPkF*pen-1p, (4)

где сумма вычетов берется по всем полюсам функции F*(p), расположенным в полосе

-π

Код для цитирования: Скопировать