VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Нестандартные методы решения задач являются одним из эффективных средств подготовки учащихся к жизни в современном обществе, а владение широким арсеналом таких методов - важная задача математического образования.

Не все математические задачи являются простыми и решаются быстро без некоторых размышлений и усилий. Уверенно справиться с ним может ученик, который хорошо владеет материалом школьной программы и имеет обширную практику в решении задач. А это достигается лишь упорным, настойчивым трудом.

На едином государственном экзамене от выпускников требуется исчерпывающее, логически верное и грамотно изложенное решение поставленных перед ним задач. По результатам единого государственного экзамена можно выяснить, насколько выпускник овладел логикой математических рассуждений, в какой мере он умеет применять свои теоретические знания при решении задач.

Всем более или менее подготовленным учащимся знакомы обычные приемы решения стандартных задач — различного вида уравнений и неравенств, текстовых задач, геометрических задач и т.п. Эти знания часто ограничены правилами, не выходящими за пределы чисто технических умений и навыков, что мешает решению нестандартных задач. И весьма небольшим количеством представлены нестандартные методы решения задач и в действующих школьных учебниках математики. Все это говорит об актуальности выбранной темы.

Нестандартные задачи — это задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. В зависимости от того, знают ли учащиеся алгоритм необходимый для решения задачи, одну и ту же задачу можно считать как стандартной, так и нестандартной. Нестандартная задача обычно понимается либо как задача, методика решения которой учащемуся неизвестна, либо как задача, для решения которой в курсе математики не содержатся правила, определяющие алгоритм его решения. К нестандартным задачам отнесем также такие задачи, которые создают для учащегося непростую ситуацию, требующую для своего разрешения нестандартного мышления, изобретательности, смекалки, внимательности, выработки новых алгоритмов и способов решений.[7]

Нестандартные задачи бывают разных типов. Многие из них внешне выглядят необычно, и поэтому учащимся совершенно не понятно, как к ним подступиться и как начать решение задачи. Другие замаскированы, с виду, например, это обычное уравнение, но стандартными приемами оно не решается. Для решения третьих необходимо очень тонкое и четкое логическое мышление. В общем, можно долго перечислять всевозможные особенности нестандартных задач и вряд ли можно все их перечислить.

Решение нестандартных задач активизирует деятельность учащихся. Учащиеся учатся сравнивать, классифицировать, обобщать, анализировать, а это способствует более прочному и сознательному усвоению знаний.

Нестандартные задачи весьма полезны не только для обычных уроков математики, но и для внеклассных, факультативных занятий, для подготовки к математическим олимпиадам, т к. при этом приобретается отличная возможность дифференцировать результаты каждого учащегося. Нестандартные задачи могут также с успехом использоваться и в качестве индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основной частью заданий на уроке, или для желающих в качестве дополнительных заданий.

Для того чтобы повысить качество знаний учащихся и улучшить результаты экзамена по математике, нами был разработан и реализован комплекс заданий для учащихся 11 класса «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств». Структура разработанного нами комплекса охватывает следующие вопросы: понятие нестандартного метода решения задачи: суть, условия и возможности применения нестандартных методов решения уравнений и неравенств, например: выделение полного квадрата; дискриминантный метод; метод сравнения и классификации; умножение обеих частей уравнения или неравенства на некоторую функцию; метод мажорант; метод областей; метод замены множителей (для неравенств); применение свойств функций; геометрические приемы; использование классических неравенств и т.п.)[5]

Разберем решение некоторых примеров.

1. Метод мажорант

Данный метод основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании метода мажорант мы выявляем точки ограниченности функции, то есть, в каких пределах изменяется данная функция, а затем используем эту информацию для решения уравнения или неравенства. Чтобы успешно пользоваться этим методом, нужно хорошо знать, какие функции имеют ограниченное множество значений.

Условием для применения метода мажоранта является:

a) наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами. Например, если в одной части уравнения стоит многочлен, а в другой – тригонометрические функции.

б) или если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.

При решении уравнения с помощью метода мажорант, мы, как правило:

1) выясняем, используя метод оценки, что правая часть уравнения больше или равна какого-то числа, а левая – меньше или равна того же числа (или наоборот);

2) равенство возможно, если обе части уравнения равны этому числу;

3) приравниваем ту часть уравнения, которая проще, к этому числу и находим соответствующее значение х;

4) проверяем, что при этом значении х другая часть уравнения также равна этому числу.

Рассмотрим примеры уравнений такого вида:

.

Чаще всего такое уравнение пытаются свести все к функции , однако, это приводит к многочлену высоких степеней. Опыт показывает, что чем более навороченное получается решение, тем больше вероятность, что нужно решать с помощью метода мажорант, то есть искать ограничения на правую и левую части уравнения.

Итак, начнем с ОДЗ:

Оценим левую часть уравнения:

Таким образом, ;

Для нас важно, что левая часть уравнения больше или равна числу 6, а правая – меньше или равна числу 6. Таким образом, равенство возможно, если обе части уравнения одновременно равны 6. То есть одновременно должны выполняться следующие условия:

Общее решение для всех уравнений:

Ответ:

2.Использование симметричности уравнения

Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.

Решите уравнение

. (1)

Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (1) есть . Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение (1) в несколько ином виде.

Поскольку справедливы тождественные равенства

,

то уравнение (1) можно переписать так:

. (2)

Теперь очевидно, что если ― корень уравнения (12), то также корень уравнения (2), поскольку

. (3)

Покажем, что если , есть корень уравнения (1), то также есть корень этого уравнения.

Действительно, так как

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если , ― корень уравнения (1), то оно имеет еще корни

, , , ,

т. е. уравнение (1) имеет корни

, , , , , .

Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (1).

Ответ:

3. Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств

Если y = f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня.

Пусть функция y = f(x) возрастает на промежутке М, а функция y = g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке М не более одного корня.

Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение равносильно системе:

При решении уравнений вида полезна следующая теорема: Если

монотонно возрастающая (убывающая) функция, уравнения и эквивалентны.

Решите уравнение:

Решение: - возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций).

В правой части уравнения – постоянное число. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что =2 – корень.

Ответ:= 2.

4. Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств

Рассматривается метод, когда выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.

Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции y =; y =; y=; y = .

При решении уравнения или неравенства следует перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом:

1). Если Д (f) = , то уравнение или неравенство решений не имеют.

2). Если Д (f) = {а₁; а₂; а₃…..аn}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а₁; а₂; а₃…..аn. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства.

3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).

Пример. Решите уравнение:

.

Решение.

Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:

Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Решить уравнение 25^x+a²(a-1)5^x-a⁵=0 для всех a.

Решение:

Делаем замену t = 5^x, получаем квадратное уравнение относительно t:t² + a²×(a-1)×t – a⁵ = 0Дискриминант:D = a⁴×(a-1)²+4×a⁵ = a⁴×( a²-2a+1+4a) = a⁴×( a² +2a+1) = a⁴×( a+1)² = (a²×(a+1))², всегда ≥ 0.Решения относительно t:t1 = (-a²× (a-1) - a²× (a+1))/2 = - a²× (a-1+a+1)/2 = -a³t2 =(-a²× (a-1) + a²× (a+1))/2 = - a²× (a-1-a-1)/2 = a²

Вернемся к первоначальной замене: 5^x = tЗначение показательной функции может быть только строго положительным.Решение 5^x = -a³ имеет место при:

-a³ > 0

a³ < 0

a < 0.

И в этом случае x = log5(-a³)Решение 5^x = a² имеет место при:

a² > 0

a ≠ 0.

И в этом случае x = log5(a²)

Ответ: a < 0: x = log₅(-a³), x = log₅(a²); a = 0: ∅; a > 0: x = log₅(a²)

Проведенное нами исследование показало, что представленный комплекс заданий позволяет решить следующие задачи: снять страх у учащихся при встрече с задачами, требующими нестандартных методов решения; сформировать умения определить, какой метод применим в конкретной ситуации и реализовать его; подготовить учащихся к успешному решению задач II части ЕГЭ.

Список литературы

1. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. — М.: ИЛЕКСА, 2007. — 252 с.

2. Дорофеев Г. В. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. — 5-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2007. — 560 с.

3. Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. — М.: Айрис-пресс, 2005. — 272 с.

4. Коропец А.А., Коропец З.Л., Алексеева Т.А. Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем. – М.: УНПК, 2012. – 126с.

5. Кравцов С.В., Макаров Ю.Л., Максимов М.И, Нараленков М.И., Чирский В.Г.Методы решения задач по алгебре. – М. Экзамен, 2005. – 544с.

6. Пойа Д. Как решать задачу — Львов: Квантор, 1991. — 216 с.

7.Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.шк. — 3-е изд., дораб.— М.: Просвещение 1989.— 192 с.

Код для цитирования: Скопировать