VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Введение

Технические возможности управления механическими системами, основанные на использовании современных информационных технологий, вызвали появление в последнее время достаточно большого количества работ по теории управления автомобилем. Задачи навигации [1,2], контроля траектории движения [3-7], автономного вождения и маневрирования с малыми радиусами разворота [8,9], направленные на повышение безопасности и увеличения комфорта, стимулировали появления в последние годы новых математических моделей. Многие, но не все подобные исследования, в той или иной степени базируются на принципе рулевого управления Аккермана – великом изобретении сделанном около 200 лет назад.

1. Историческая информация

Рудольф Аккерман (20 апреля 1764г., Штольберг, Саксония - 30 марта 1834 г., Лондон) – англо-немецкий книготорговец, изобретатель, литограф, издатель и бизнесмен (рис.1).

Рис.1. Рудольф Аккерман между 1810-1814 гг.

Он родился в г. Штольберг, в Саксонии, где посещал латинскую школу. Его желание учиться в университете не реализовалось из-за отсутствия финансовых средств, и поэтому он стал каретным мастером, как и его отец. Р. Аккерман изучил ремесло своего отца, затем работал в Дрездене, Лейпциге, Базеле, Париже и Брюсселе в качестве подмастерья и достиг высокого искусства в изготовлении рисунков и в разных, исполненных вкуса, усовершенствованиях в каретном мастерстве. Впоследствии он отправился в Лондон, где в 1794 году открыл магазин художественных произведений. Р. Аккерман ввёл в Англии литографию и усовершенствовал гравирование на дереве. В 1801 году он запатентовал метод создания водонепроницаемой бумаги и ткани и построил завод в Челси, для их изготовления. Он был одним из первых, кто применил газ для освещения помещений. Он также запатентовал геометрию рулевого управления [10].

Рулевой привод Аккермана не было на самом деле изобретением Аккермана, хотя он получил британский патент [10] на свое имя и способствовал внедрению его в ходовой части карет (рис. 2).

Рис.2. Рулевой привод Аккермана (1818 г.), в настоящее время используются в автомобилях.

Фактическим изобретателем был друг Аккермана Джордж Ланкеншпергер из Мюнхена, каретный мастер короля Баварии [11]. Очевидным преимуществом этого изобретения была возможность осуществлять безопасный поворот в ограниченном пространстве. По словам самого Аккермана: «Безопасность, долговечность, экономичность и комфорт характеризуют это полезное изобретение».

В некоторых источниках [12] принцип рулевого управления связывают с именем Шарля Жанто (1848-1906 гг.). Считается, что он изобрел рулевую трапецию в 1878 году. Ш. Жанто также известен и электромобилями, которые начал делать на своей фабрике в Ли-Може с 1893 года. На одном из электромобилей марки "Жанто" французский автогонщик граф Гастон де Шаслу-Лоба 18 декабря 1898 года, установил первый мировой рекорд скорости на безлошадном (как тогда говорили) экипаже — 63 км/ч (рис.3).

Рис 3. Электромобиль конструкции Ш.Жанто (1898 г.)

1. Закон рулевого управления

Традиционное описание принципа рулевого управления Аккермана можно рассмотреть, повернув передние колеса транспортного средства налево, как показано на рисунке 4 [13]

Рис. 4. Положение передних колеса автомобиля по принципу Аккермана

При движении автомобиля выполняется кинематическое условие, позволяющее вращаться колесам автомобиля без проскальзывания. Такое состояние называется условием Аккермана и выражается равенством

где – угол поворота внутреннего управляемого колеса, and – угол поворота внешнего управляемого колеса. Углы поворота внутреннего и наружного колес определяются с учетом положения мгновенного центра скоростей .

Рисунок 5 иллюстрирует поворот автомобиля влево. Таким образом, мгновенный центр скоростей находится слева, а внутренние левые колеса те, которые ближе к центру вращения.

Рис. 5. Углы положения передних колес и при рулевом управлении транспортным средством и угол Аккермана .

Расстояние между точками разворота осей управляемых колес называется колея и обозначена . Расстояние между передними и задними колесами называется колесной базой и обозначена . Колея и колесная база считаются кинематической шириной и длиной транспортного средства.

Центр масс управляемого автомобиля движется по кругу с радиусом

где угол определяется через среднее значение котангенсов внутреннего и внешнего углов управления.

Угол является эквивалентом угла поворота велосипеда, имеющего такую же колесную базу и радиус вращения , и используется в двухколесной модели автомобиля.

Рассмотренное описание вполне подходит при решении задач конструирования транспортного средства, но не подходит для решения задач навигации, управления движением, маневрирования. Для решения подобных задач движение автомобиля необходимо связать с одним управляющим параметром, в качестве которого выбирается разность углов поворота левого и правого передних колес автомобиля

где – управляемый угол левого колеса ,– управляемый угол левого колеса. При левом повороте

Из равенства площадей в левом повороте

находится

и

Дальнейшее преобразование приводит к следующему уравнение связи расстояния от центра вращения до средней точки задней оси автомобиля с параметром управления.

Расстояния от центра вращения до точек находятся из равенств

,

,

Связь между углами и , обеспечивающая принцип управления Аккермана, дается следующими параметрическими уравнениями

и

Максимальный угол Аккермана определяется конструктивными особенностями подвески и связан с максимальным углом поворота колеса (43-45 град. реально 40-41 град.) соотношением

.

1. Расчет траектории

Закон управления устанавливает аналитическую связь межу параметром управления и движением любой фиксированной точки автомобиля. Для нахождения закона управления вводится в рассмотрение радиус кривизны траектории движения автомобиля (точки ) следующим равенством

, (1)

Как известно, любая плоская кривая полностью определяется своим натуральным уравнением [14]

где – натуральный параметр (в данном случае это расстояние проходимое автомобилем), – кривизна траектории.

Для формализации задачи управления в дальнейшем целесообразно кривизну траектории движения автомобиля определять равенством

где угол – угол смежности (угол поворота касательной к траектории движения автомобиля), за положительное направление отсчета которого выбирается левый поворот транспортного средства. При повороте налево , а при повороте направо .

Тогда закон управления автомобилем записывается равенством

, (2)

Здесь , при – автомобиль совершает правый поворот, а при – левый.

Т.е. любой функции управления соответствует единственная траектория движения автомобиля задаваемая уравнением (1). И наоборот, любой гладкой траектории движения автомобиля соответствует единственная функция управления, которая определяется равенством

(3)

Параметрические уравнения траектории при этом могут быть получены в следующем виде:

При движении автомобиля с постоянной скоростью параметрические уравнения траектории принимают вид:

Выводы

Для простейшей модели автомобиля, когда он моделируется прямоугольником, получен универсальный однопараметрический закон управления автомобилем, который позволяет решать различные кинематические и динамические задачи о его движении. Введение дополнительных уточняющих геометрических характеристик автомобиля, не вносит принципиальных изменений в предложенную математическую модель и может быть осуществлено при необходимости. Одним из прямых применений предложенной модели может быть существенное уточнения алгоритмов parallel parking, предложенных в работах [15-18], а также решение навигационных задач управления механическими транспортными средствами при помощи навигационных систем ГЛОНАСС и GPS [19] и задач управления мобильными роботами с помощью датчиков слежения. Формулы (1)-(3) могут быть востребованы при проектировании автодорог, транспортных развязок, одноуровневых и многоуровневых паркингов, автозаправок, пунктов питания и при создании тренажеров.

Библиография

1. Alejandro J. Weinstein, Kevin L. Moore, Pose Estimation of Ackerman Steering Vehicles for Outdoors Autonomous Navigation. Proceedings of 2010 IEEE International Conference on Industrial Automation, Valparaiso, Chile, March 2010, pp.541-546.

2. A. Pedro Aguia, João P. Hespanha.Trajectory-Tracking and Path-Following of Underactuated Autonomous Vehicles With Parametric Modeling Uncertainty. ieee transactions on automatic control, vol. 52, no. 8, august 2007, pp. 1362-1379.

3. Danwei Wang, Feng Qi. Trajectory Planning for a Four-Wheel-Steering Vehicle. Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Robotics & Automation Seoul, Korea • May 21-26, 2001

4. R.G. Longoria.Steering and Turning Vehicles, Spring 2012, http://www.me.utexas.edu/~longoria/VSDC/notes/04_Steering_and_Turning_Vehicles.pdf

5. Sergei V. Gusev, Igor A. Makarov. Trajectory tracking control formaneuverable nonholonomic systems. arXiv:math/0507567v1 [math.OC] 27 Jul 2005 - arXiv.org.

6. On Computing Robust Controllers for Mobile Robot Trajectory Calculus: LyapunovRadu Bogdan Rusu and Marius Borodi. Technical report, UTCN, 06/2005, Cluj-Napoca, Romania, (2005), http://files.rbrusu.com/publications/Rusu05RobotuxLyapunov.pdf

7. Nagy, B., Kelly, A., "Trajectory Generation for Car-Like Robots Using Cubic Curvature Polynomials", Field and Service Robots 2001 (FSR 01), Helsinki, Finland - June 11, 2001. http://www.frc.ri.cmu.edu/%7Ealonzo/pubs/papers/fsr2001.pdf

8. Jin-Hua She, Xin Xin, Yasuhiro Ohyama, Min Wu. Hiroyuki Kobayashi. Vehicle steering control based on estimation of equivalent input disturbance. The 16th IFAC world congress, Prague, July 3-8, 2005.

9. Ackermann, Jürgen ; Bünte, Tilman. Automatic car steering control bridges over the driver reaction time. (English). Kybernetika, vol. 33 (1997), issue 1, pp. 61-74

10. British Patent 4212, January 27, 1818

11. Ueber die Lankenspergersche u. Ackermannsche bewegliche Patent-Achsen. Dinglers Polytechnisches Journal. 1820, Band 1, Nr. XXVII. (S. 296–311) http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj001/ar001027.

12. Толубко В.Б., Васильев Б.Г., Березан А.М. Решение проблемы маневренности увеличением степени подвижности машин с неголономными связями колесного типа // Транспортне машинобудування. Механіка та машинобудування, 2009, No 2, с.96-102

13. http://www.idsc.ethz.ch/Courses/vehicle_dynamics_and_design/11_0_0_Steering_Theroy.pdf

14. Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974, 176 с.

15. Huston, D. C. , 2010-08-05 "The Geometry of Parallel Parking" Paper presented at the annual meeting of the The Mathematical Association of America MathFest, Omni William Penn, Pittsburgh, 2012-12-03 from http://www.allacademic.com/meta/p436841_index.html

16. Ankit Gupta, Rohan Divekar. Autonomous Parallel Parking Methodology forAckerman Configured Vehicles. ACEEE Int. J. on Control System and Instrumentation, Vol. 02, No. 02, June 2011. рр. 34-39.

17. Simon R. Blackburn. The Geometry of Perfect Parking http://personal.rhul.ac.uk/uhah/058/perfect_parking.pdf

18. Jascha Hoffman. Perfect Parallel Parking. New York Times, 19.12.2010. http://nyti.ms/hiAhrP

19. Поддубный В.И., Пенюшкин А.С. Управление движением колесных мобильны машин с использованием спутниковых радионавигационных систем // Ползуновский вестник 2012. – Т1, в.1- с. 239-242.

 

10

 

Код для цитирования: Скопировать