VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Согласно теореме Эйлера о конечном повороте твердого тела в его сферическом движении существует неподвижная ось, поворот вокруг которой на фиксированный угол переводит тело из начального положения в любое наперед заданное. Пусть – положение произвольной точки твердого тела в его начальном положении, а – положение этой точки после перемещения тела. Тогда преобразование радиус-вектора , проведенного из неподвижной точки в точку , в радиус-вектор , проведенный в точку , определяется формулой Родрига

,

где – единичный вектор оси вращения, – фиксированный угол поворота.

Формула Родрига может быть представлена в матричном виде равенством

, (1)

где – матрица поворота, определяемая равенством

,

.

Матрица поворота может быть представлена с помощью матричной экспоненты

,

что следует свойства кососимметрических матриц ()

Пусть в начальный момент времени твердое тело занимает область и ограничено поверхностью : . Тогда по формуле (1) уравнение движения в параметрах ось-угол твердого тела при его сферическом движении записывается следующим матричным равенством:

.

С использованием матричной экспоненты кинематические уравнения движения точек свободного тела имеют вид

.

Связь пространства вращений с единичными кватернионами определяется равенствами

,

,

,

,

–единичный вектор оси вращения, – угол поворота вектора .

Уравнение сферического движения поверхности , ограничивающей твердое тело , принимает вид

т.е.

(2)

 

3

 

Код для цитирования: Скопировать