VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Турбулентность – явление, наблюдаемое во многих течениях жидкостей и газов и заключающееся в том, что в этих течениях образуются многочисленные вихри различных размеров, вследствие чего их гидродинамические и термодинамические характеристики (скорость, температура, давление, плотность) испытывают хаотические флуктуации и потому изменяются от точки к точке и во времени нерегулярно.

Большая часть течений в технике и природе являются турбулентными. Течения воды в реках и морях, течение жидкостей в трубах, движение плазмы, воздуха в атмосфере земли, поведение пограничных слоев около обтекаемых тел – все они, как правило, имеют турбулентную природу. Ламинарные течения среди них встречаются редко.

Понимание того, как устроены турбулентные течения и умение изучать определенные их свойства – важная задача, имеющая большое прикладное применение. Турбулентность либо подавляют, либо наоборот усиливают. В камерах сгорания ставят особые форсунки, которые усиливают турбулентность, и благодаря этому улучшают смешиваемость топлива и воздуха. В самолетостроении, наоборот, пытаются уменьшить влияние турбулентных потоков. На крылья устанавливают ветрогенераторы, которые стабилизируют движение пограничного с крылом слоя атмосферы, что уменьшает колебания подъемной силы.

Турбулентное поведение диссипативных динамических систем представляет собой большой интерес и рассматривается во многих работах. Появляются все новые подходы к изучению турбулентности. Создаются различные модели, предлагаемые для лучшего понимания отдельных свойств турбулентных течений.

Результаты теории динамических систем, описывающих хаотическое поведение в детерминированных системах, позволяют изучать хаотические свойства турбулентности, при переходе к дискретным моделям.

В работе [1] рассмотрены некоторые дискретные модели турбулентности, в частности ряд дискретных моделей уравнения Навье – Стокса. В работе [2] рассмотрена пятимерная модель, а в [3] семимерная. Результаты, полученные для моделей разных размерностей, отличаются друг от друга. В случае пятимерной модели переход к хаосу происходит путем бифуркаций удвоения периода. В случае семимерной модели переход к хаосу происходит через возникновение и последующее разрушение квазипериодических режимов, которым в фазовом пространстве системы соответствуют двумерные торы.

Изучение этих моделей интересно с точки зрения общей теории динамических систем, исследования их сложного поведения и возможных путей перехода к хаотическим режимам.

Цель данной работы состоит в исследовании семимерной модели уравнения Навье – Стокса с изменением числа Рейнольдса, которая интересна возникновением странного аттрактора после двух бифуркаций удвоения квазипериодов тора и последующей синхронизации частот, благодаря которой рождается новый периодический режим.

Результаты, полученные моделированием в системе Wolfram Mathematica совпадают с полученными в работе [3].

Аттракторы динамических систем

Образом периодического движения является замкнутая линия в пространстве состояний. Она является предельным циклом.

Предельный цикл в пространстве состояний имеет область притяжения: траектории, начинающиеся в ней, выходят на этот цикл. В этом случае о предельном цикле говорят как об аттракторе (притягивающем множестве).

Потеря устойчивости периодическим движением сопровождается определенной качественной перестройкой поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности ставшего неустойчивым предельного цикла. Данная перестройка называется локальной бифуркацией.

Странным аттрактором называется притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний.

Идея построения сечения Пуанкаре состоит в следующем: в фазовом пространстве строится некоторая поверхность и находятся точки пересечения фазовой траектории и данной поверхности.

Модель

Рассмотрим модель течения несжимаемой жидкости, представленную в работе [3]. Двумерное течение под действием пространственно периодической силы f, которую можно представить в виде конечного числа членов ряда Фурье

f=k∈Lk⊥/|k|fkexp⁡(ikx) (1)

Где x=x1,x2, k={h1,h2} - волновой вектор с целыми компонентами, k⊥=h2,-h1, L – множество 2N векторов таких, что если k∈L, то –k∈L. Коэффициенты fk удовлетворяют условию

fk=-f-k* (2)

Такое движение жидкости описывается уравнением непрерывности

div U=0 (3)

И уравнением Навье – Стокса

∂U∂t+U

U=

p+ν

U+f (4)

Где U=u,v – вектор скорости, ν – кинематическая вязкость, p – давление.

Решение уравнений (3) и (4) в соответствии с (1) можно искать в виде

Ux= k∈Lk⊥kγkexpikx(5)

Где γk=-γ-k*. Решение (5) автоматически удовлетворяет уравнению (3). Подставляя (5) и (1) в уравнения (4) и исключая давление p, получим

γk=-ik1+k2=kk1,k2∈L(k1⊥k2)(k22-k12)2k1k2|k|γk1γk2-νk2γk+fk (6)

Пусть L – множество векторов k1=1,1, k2=3,0, k3=2,-1, k4=1,2, k5=0,1, k6=2,2, k7=(1,-2), а сила f не зависит от времени и содержит лишь одну пространственную гармонику с волновым вектором k3, т.е. f=(k3⊥/ |k3|)fk3expik3x. В этом случае уравнения (6) имеют частное решение вида

γk1=aX1, γk2=-iaX2, γk3=aX3, γk4=iaX4,

γk5=aX5, γk6=iaX6, γk7=iaX7

Где a=10ν2, X1, X2,…, X7 – действительные величины, удовлетворяющие уравнениям

X1=-2X1+45X2X3+45X4X5,

X2=-9X2+35X1X3+35X6X7,

X3=-5X3+9X1X7-75X1X2+R,

X4=-5X4-5X1X5,

X5=-X5-35X1X4,

X6=-8X6-45X2X7,

X7=-5X7+5X2X6-9X1X3

Где точка означает дифференцирование по времени τ=νt, R=fk3/a - аналог числа Рейнольдса.

Будем рассматривать сечение Пуанкаре плоскостью X1=0

Начальные условия выбраны так, что начальная точка близка к аттрактору, найденному при случайных начальных условиях.

Вычисления проведены в системе Wolfram Mathematica (см. приложение).

Выбор начальных условий

Для решения системы дифференциальных уравнений численными методами необходимо задать начальные условия. При любых начальных условиях из притягивающего множества периодического решения траектория будет выходить на аттрактор. Покажем это, проведя серию вычислительных экспериментов.

Рассмотрим систему при R=269. Возьмем случайные начальные условия (x1[0]=0, x2[0]=1, x3[0]=-1, x4[0]=2, x5[0]=7, x6[0]=10, x7[0]=-4)

Ниже приведены проекции фазовой траектории на плоскость X2X6 на разных временных отрезках.

при t∈[0,1.5]	при t∈[0,10]
при t∈[1.5,10]	при t∈[40,50]

При t∈[0,1.5] происходит выход на аттрактор. Далее траектория лежит в притягивающем множестве.

Возьмем другие случайные начальные условия (x10=0, x20=9, x3[0]=-2, x4[0]=1, x5[0]=4, x6[0]=1, x7[0]=-2)

при t∈[0,10]

при t∈[40,50]

Вначале также происходит выход на аттрактор. Аттрактор такой же как и при предыдущих начальных условиях, так как при t∈[40,50] траектории в обоих случаях выглядят одинаково.

Если в качестве начальных условий взять точку, принадлежащую аттрактору, то траектория будет сразу принадлежать ему. Например, возьмем

x1[0]=0, x2[0]=-0.73, x3[0]=-1.42, x4[0]=2.78, x5[0]=7.78, x6[0]=2.1,

x7[0]=-4.2

при t∈[0,10]

Траектория системы сразу, начиная с t=0 принадлежит притягивающему множеству.

Далее для всех вычислений используются последние начальные условия.

Бифуркации удвоения квазипериода тора

Рассмотрим проекцию сечения Пуанкаре X1=0 на плоскость X3X6. При R1(275

Код для цитирования: Скопировать