VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В серии работ [1]-[5] были изучены условия аналитической разрешимости комплексной задачи Коши, поставленной для различных видов систем дифференциально-операторных уравнений. Как показали проведённые исследования, эти условия можно разделить на два класса: «сильные» условия аналитической разрешимости и «слабые» условия аналитической разрешимости.¹

В настоящей работе рассмотрена задача Коши для одной системы интегро-дифференциально-операторных уравнений. В силу представления решения степенными векторнозначными рядами многих комплексных переменных «сильные» условия аналитической разрешимости этой задачи Коши оказались схожими со случаем для систем дифференциально-операторных уравнений. Это позволяет говорить о том, что аналитическая разрешимость задачи Коши для подобных изучаемой ниже систем также может быть классифицирована на «сильную» и «слабую».

Постановка задачи

Пусть – произвольное счётно-полное локально выпуклое пространство с определяемой мультинормой топологией, а A – семейство линейных непрерывных, перестановочных друг с другом операторов В этом пространстве рассмотрим систему интегро-дифференциально-операторных уравнений

(1)

где ℕ, ℕ. Здесь ℂ – подлежащая определению неизвестная векторнозначная функция от комплексных переменных, значения которой на каждом фиксированном наборе принадлежат пространству Ставится

Задача Коши: найти решение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям

(2)

где ℂ,

Теорема существования и единственности аналитического решения. Устойчивость решения

Теорема 1. Если операторы ℵ то задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение для любых векторов Оно является векторнозначной функцией комплексных переменных со значениями в пространстве и определяется формулой

(3)

в которой

(4)

(5)

где – символ Кронекера,

причём:

1) если все операторы имеют порядки то вектор-функция (3) является целой функций комплексных переменных;

2) если же среди операторов найдётся хотя бы один оператор имеющий порядок и тип а остальные операторы при этом имеют порядки то вектор-функция (3) является аналитической функций комплексных переменных в открытом поликруге

с полицентром и полирадиусом где а

(6)

Лемма 1.Пусть операторы имеют порядки Тогда кратные ряды (4)-(5) сходятся по топологии пространства абсолютно на ℂ.

Лемма 2. Если среди операторов найдётся хотя бы один оператор такой, что а остальные операторы при этом имеют порядки то кратные ряды (4)-(5) сходятся по топологии пространства абсолютно в открытом поликруге с полицентром и полирадиусом где а вычисляется по формуле (6).

Доказательство лемм 1-2 проводится аналогично доказательству соответствующих лемм работы [2].

Доказательство теоремы 1. В силу лемм 1-2 кратные ряды (4)-(5) сходятся абсолютно и равномерно в некоторых областях -мерного векторного комплексного пространства ℂ, поэтому допускают почленное дифференцирование по переменным любое число раз. Поскольку

где то из (3) следует, что для любого

С другой стороны, для любого

(7)

Легко видеть, что для любого

(8)

(9)

Полагая ℝ, и учитывая, что

где – бета-функция, – гамма-функция, будем иметь:

(10)

(11)

Следовательно, в силу (7)-(11) для любого

Таким образом, вектор-функция (3) является решением системы (1). Действуя аналогично [2], несложно показать, что вектор-функция (3) удовлетворяет также начальным условиям (2). Кроме того, рассуждая по схеме, изложенной в [4], можно показать, что задача Коши (1)-(2) имеет единственное «сильное» решение. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть операторы ℵ Тогда решение задачи Коши (1)-(2) непрерывно зависит от начальных данных

Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству соответствующей теоремы работы [2].

Библиографический список

1. Аксёнов Н.А. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами. Вестник Ижевского государственного технического университета 2009; 4 (44): 176-178.

2. Аксёнов Н.А. Задача Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка в локально выпуклых пространствах. Математические заметки 2011; 90 (2): 183-198.

3. Аксёнов Н.А. К вопросу об аналитической разрешимости комплексной задачи Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах. Учёные записки Орловского государственного университета. Серия «Естественные, технические и медицинские науки» 2012; 6 (50): 18-22.

4. Аксёнов Н. А. Аналитическая разрешимость комплексной задачи Коши для некоторых систем дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами. Учёные записки Орловского государственного университета. Серия «Естественные, технические и медицинские науки» 2013; 6 (56): 25-32.

5. Аксёнов Н. А. Об аналитической разрешимости комплексной задачи оши для одной системы дифференциально-операторных уравнений. Материалы 1-й Международной научно-практической конференции «Современные проблемы физико-математических наук». Орел: ОГУ, 2014: 9-12.

6. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Орёл: ОГУ, 2009.

1 Понятия «сильного», а также «слабого» условий аналитической разрешимости комплексной задачи Коши, сформулированные в терминах теории порядка и типа линейного непрерывного оператора в произвольном локально выпуклом пространстве [6], приведены в работе [4].

 

8

 

Код для цитирования: Скопировать