VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

 

1.1Определение и формулы многоугольных чисел

 

Следуя за греческими учеными, перейдем к рассмотрению точек, равномерно заполняющих различные многоугольники.

Начнем с треугольников.

Начав с одной точки, на следующем шаге изобразим три точки так, чтобы при их попарном соединении получался правильный треугольник (рис. 1.1).

 

 

Рисунок 1.1

 

«Шеститочечный» треугольник получим из «трехточечного» добавлением трех точек (с линейным увеличением последнего в два раза). Сколько еще точек нужно добавить, чтобы «впечатление» треугольника сохранилось? Ответ найти нетрудно: четыре. Соответствующий треугольник получается линейным увеличением исходного в три раза. Условившись считать треугольником и фигуру, состоящую из одной точки, и сопоставив каждому треугольнику число, выражающее количество точек в нем, мы получим числовую последовательность 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... , элементы которой назовем треугольными числами.

Аналогичным образом, добавляя к «Отдельно взятой точке» три точки, пять точек, семь точек, ... , можно построить последовательность квадратов (рис. 1.2).

 

Рисунок 1.2

 

Подсчитывая количество точек в них, мы получим последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... , которые назовем квадратными числами.

Рассматривая последовательность правильных пятиугольников, получающуюся добавлением к единичной точке сначала четырех точек, затем семи точек и т. д., и подсчитывая количество точек в каждом из них, мы получим последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ... (рис. 1.3).

 

 

Рисунок 1.4

 

Так же можно построить шестиугольные числа 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, ... (рис.1.4),

 

 

Рисунок 1.4

 

семиугольные числа 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, ... , восьмиугольные числа 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, ... , в общем случае, угольные числа. Заметим, что в основе наших построений лежит следующий принцип перехода от го угольного числа к му угольному числу: продолжить две стороны имеющегося многоугольника, выходящие из одной вершины, и добавить недостающие стороны. Легко видеть, что при этом мы добавляем точку. Таким образом, треугольные числа получаются как последовательные суммы элементов арифметической прогрессии 1, 2, 3, ... ; квадратные числа - как последовательные суммы элементов арифметической прогрессии 1, 3, 5, ... ; пятиугольные числа - как последовательные суммы элементов арифметической прогрессии 1, 4, 7, ... ; шестиугольные числа - как последовательные суммы элементов арифметической прогрессии 1, 5, 9, ... , и т.д. Заметим, что, располагая точки в линию, мы можем говорить о линейных числах: любое натуральное число является линейным, и может быть получено как сумма элементов арифметической прогрессии 1, 1, 1, .... Общее определение плоского фигурного числа впервые дал Гипоксил Александрийский (11 в. дон. э.): м -угольным числом называется сумма  членов арифметической прогрессии

 

,

 

первый член которой есть единица, а разность равна .

Таким образом,

 

 

 

 

в частности,

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь данным определением, мы немедленно получаем рекуррентную формулу для -угольных чисел, позволяющую найти величину  -ro -угольноrо числа, зная величину предыдущего, -ro -угольного числа:

,

 

для любого натурального . В частности,

 

 

Часто бывает удобным добавление в элемента .

Так как сумма первых элементов арифметической прогрессии , ... с разностью  равна

 

 

мы получаем следующие формулы для -гo -угольного числа:

 

В частности,

 

 

Формулы m-угольных чисел для и начальные элементы

соответствующих последовательностей можно найти в .

 

 

 

1.2Задача Диофанта-Эйлера

 

Пусть натуральное число. Нужно решить следующую задачу: Сколько раз встречается данное число среди всех многоугольных числах?

 Эту задачу впервые описал Диофант в своей книге «О многоугольных числах», но решение до конца не довел.

Позже эту задачу решил Эйлер: Найти все натуральные и для которых

Так как

то мы получаем следующую цепочку равенств:

 

 

 

 

Разложение

 

 

 

алгебраической дроби на простейшие дроби позволяет утверждать, что

 

 

Так как  - число натуральное, а знаменатели дробей , стоящих в правой части, взаимно просты, то числа являются натуральными числами, т.е.  делится на  и делится на .

Следовательно, для нахождения всех многоугольных чисел, совпадающих с мы можем использовать следующий алгоритм:

• найти все делители ;
• найти все делители ;
• в первой последовательности выделить числа, на единицу большие какого-либо элемента второй последовательности - они соответствуют величине ;
• найти и

 

Например, рассмотрим . В этом случае

 

 

 

Делителями числа  являются натуральные числа 1, 2, 7, 14. Делителями числа являются натуральные числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Выберем из первого множества числа, на единицу большие какого-либо элемента второго множества:

 

2 = 1 + 1 и 7 = 6 + 1.

 

Таким образом, ..

Для

 

 

и

 

 

Для

 

 

 

и

 

 

 

 

напомним, что  это линейные числа).

Если то  и

Делителями 210 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.

Делителями 208 являются числа 1, 2, 4, 8, 13, 16, 26, 52, 104, 208.

Тогда  Для

 

 

 т.е.

.

 

При

 

т. е.

 

 

 

При

т. е.

 

 

При

 

т.е.

 

 

При

c

 

При

 

 

 

т. е.

 

1.2 Задача о определении фигурного числа

 

Рассмотрим более простую задачу: для фиксированного натурального  выяснить, является ли данное натуральное число угольным фигурным числом

Теорема. Для того чтобы натуральное число было фигурным числом , необходимо и достаточно,что число было квадратным.

Доказательство.Необходимость. Пусть выражение является квадратным, тогда .

Алгоритмпроверки основан на следующем несложном наблюдении:

 если  то число является полным квадратом. Действительно, поскольку

то

 

 

 

 

Таким образом, для ответа на поставленный вопрос мы выясняем, является ли число полным квадратом.

Если мы не получили полного квадрата, то  не может быть угольным числом. Если полный квадрат получен, то, решая уравнение

 

 

 

относительно , мы находим номер соответствующего многоугольного числа по формуле

 

 

 

Например, для того чтобы выяснить, является ли число  некоторым треугольным числом, мы вычисляем величину ,  в данном случае равную:

 

 

Поскольку

 

 

то следует, чточисло 105 является треугольным, причем его номер n можно получить по формуле

 

 

 

 

откуда немедленно следует, что n= 14. Таким образом,

 

 

1.3Золотая теорема Ферма

 

Самой важной теоремой теории фигурных чисел считается теорема, которую Ферма, впервые сформулировавший ее в 1654 г. назвал «золотой».

Теорема (ЗТФ). Каждое натуральное число представимо в виде суммы неболее n n-угольных чисел.

Другими словами, всякое натуральное число есть или треугольное, или сумма двух или трех треугольных чисел; или квадратное, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел и т. д.

Доказательство. Приведем следующую лемму Коши и докажем ее.

Лемма (Коши).Пусть k и s - нечетные натуральные числа, удовлетворяющие условиям и  тогда существуют неотрицательные целые числа t, и, v, w,такие что

 

 

 

и

 

.

 

 

Действительно, так как k и sнечетны, то

 

 

 

 Выберем знак числа так, чтобы

Определим целые числа  из равенств

 

 

 

Тогда искомые представления для k иs имеют место, причем . Для проверки того, что эти целые числа неотрицательны, достаточно показать, что или Это верно, если  или, что то же, если

Так как

 

 

 

а

 

то наибольшее значение выражение равно

и из неравенства следует, что

 

 

 

Результат этой леммы применяем длядоказательство «золотой теоремы» угольных числах для случая

Рассмотрим числа вида ,  и , где последовательные нечетные числа, и . Такие числа составляет множество которое содержит представителей всех классов вычетов по модулю .Т.е. для указанных и :

 

 

 

Пусть

 

 

следовательно, является нечетным целым числом, и

 

 

Если

 

то

 

 

Подобным образом, если

 

 

то

 

 

Между двумячислами

 

и

 

содержится два последовательных нечетных числа и , так как длина интервала между ними больше 4.

Таким образом, существуют  нечетные целые числа и , удовлетворяющие условию

,

где

 

и

 

 

Из леммы Коши следует, существования таких что,

 

 

 

и

 

.

откуда

 

 

 

или

 

 

 

Так как то мы имеем искомое представление числа в виде суммы многоугольных чисел. Доказана.

Рассмотрим свойство, широк известное как теорема о шестиугольных числах.

Предложение 1. ое шестиугольное число является треугольным числом с номером

Другими словами, имеет место формула

 

 

Доказательство. Распишем

 

 

 

1.4 Задача о треугольных квадратных числах

 

Среди треугольных чисел найти числа, являющиеся полными квадратами. Для решения этой задач составляем уравнение:

 

 

 

После некоторого преобразования данного выражение получим:

 

 

или

 

 

Если положить 

                                                  (*)

 

то получим уравнение

(**)

 

Это нелинейное Диофантово уравнение и называется уравнением Пелля. Между корнями этого уравнения и квадратно-треугольными числами есть такая связь: Если найдено корни этого уравнения, то с помощью уравнения связи  (*) находим соответствующие квадратно-треугольные числа, и наоборот. Например, при

 

 

Тогда решением уравнение (**) будет:

 

и

 

Действительно, подставляя значения и непосредственно в уравнение (**) убедимся, что:

 

 

 

Для решения  уравнение (**) воспользуемся формулой Эйлера

 

                                      (***)

 

Таблица 2-Первые 6 квадратно-треугольные числа вычисленные по формуле (***).

 

k	n	m
1	1	1	1
2	8	6	36
3	49	35	1225
4	288	204	41616
5	1681	1189	1413721
6	9800	6930	48024900

 

 

 

 

Заключение

 

Закономерности, обнаруженные при исследовании конкретного вида плоского фигурного числа многообразны. Иногда эти свойства можно обобщить к другим подобным числам, а в некотором случае они индивидуальны. Например, задача поиска квадратных треугольных чисел приводит к одному уравнению Диофанта (Пелля), решение которого дает определить все квадратные числа среди вcех треугольных чисел.

В результате исследовательской работе была обобщена поиск таких чисел с поиском решения уравнения данного вида.

Другим результатом работы является подробное доказательство одной из красивейших теорем - золотой теоремы Ферма, все что связано в математике с именем этого великого математика всегда интригующе и интересно, с точки зрения исследовательских действий.

1.     В работе были исследована задача Эйлер-Диофанта и ее решения;

2.     Сформулирована и доказана теорема о необходимом и достаточном условии фигурности данного числа;

3.     Исследована и приведена доказательство золотой теоремы Ферма.

Доказательство данной теоремы не встречается основных классических учебниках по теории чисел отечественных и зарубежных авторов;

4.     Исследована задача о треугольных квадратных числах и показана их связь с решением одного вида Диофантовых уравнений.

 

 

Список использованной литературы

 

 

1.     Деза Е. И. О содержании элективного курса «Фигурные числа»// Математика в Школе. 2007. № 4, 5.

2.     Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959.

3.     Соломин А. В., Соломин В. М. О представлении треугольных чисел квадратами//Математика в школе. 1990. № 6.

4.     Р.Стенли. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции: Пер. с англ. -М.: Мир, 2013. -767с.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Код для цитирования: Скопировать