VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. Изменение одной переменной, как правило, не может происходить без изменения других.

На практике не всегда получается описать адекватно, например, сложное социально-экономическое явление с помощью только одного соотношения (уравнения). Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

Систему взаимосвязанных тождеств и регрессионных уравнений, в которой переменные могут одновременно выступать как результирующие в одних уравнениях и как объясняющие в других, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к моменту t, но и к предшествующим моментам. Такие переменные называются лаговыми (запаздывающими). Тождества отражают функциональную связь переменных. Техника оценивания параметров системы эконометрических уравнений имеет свои особенности. Это связано с тем, что в регрессионных уравнениях системы независимые переменные и случайные ошибки оказываются коррелированы между собой¹.

Таким образом, система одновременных уравнений — это совокупность эконометрических уравнений (часто линейных), определяющих взаимозависимость экономических переменных. Важным отличительным признаком системы «одновременных» уравнений от прочих систем уравнений заключается в наличии одних и тех же переменных в правых и левых частях разных уравнений системы (речь идет о так называемой структурной форме модели)².

Система одновременных уравнений - это система взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств, в которых одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать и в роли результирующих показателей, и в роли объясняющих переменных.

Классическим примером является одновременное формирование спроса Q^dи предложения Qsтовара в зависимости от его цены Р:

Q^d = β₁ + β₂P +β₃I + ε₁; (1)

Qs=β₄ + β₅P+ ε₂.

Здесь I – доход.

Если предположить, что рынок находится в состоянии равновесия, то в равенстве (1) следует положить Q^d= Qs= Q.В этом случае наблюдаемое значение Р– это цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Таким образом, мы должны считать Ри Q объясняемыми переменными, а величину дохода I – объясняющей переменной.

Среди переменных систем различают как эндогенные (внутрисистемные), так и экзогенные (внешние по отношению к рассматриваемой системе).

Разделение ролей между переменными в системе одновременных уравнений может быть проинтерпретировано следующим образом: переменные Qи Р формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (1), т.е. внутри модели. Такие переменные называются эндогенными. Между тем переменная I считается в уравнениях (1) заданной, ее значения формируются вне модели. Такие переменные называются экзогенными.

Следовательно, эндогенными называются переменные, значения которых определяются в процессе функционирования изучаемой экономической системы. Их значения определяются «одновременно» исходя из значений некоторых экзогенных переменных, значения которых определяются вне модели, задаются извне. В системах одновременных уравнений эндогенные переменные зависят как от экзогенных переменных, так и от эндогенных.

С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии,между тем как эндогенные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют). Естественно предположить, что схожие случайные факторы действуют как на цену равновесия, так и на спрос на товар. Причинная зависимость между переменными приводит к коррелированности их со случайными членами³.

Набор экзогенных переменных может быть различным. Так в модели спроса и предложения в качестве экзогенных переменных к доходу могут быть добавлены процентная ставка, временной тренд и т.д.

Приведем общий вид системы одновременных уравнений. Пусть Y₁, ..., Y_m–эндогенные переменные, Х₁, ..., X_l–экзогенные переменные. Введем блочные матрицы В и Г вида:

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как

BY+ГХ=Ɛ (2),

где

Измерение тесноты связи между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для объяснения функционирования сложных экономических систем. Изменение одной переменной не может происходить при абсолютной неизменности других. Её изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Таким образом, отдельно взятое уравнение регрессии не может характеризовать истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Поэтому в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между системой переменных⁴.

Рассматриваются различные виды систем одновременных уравнений.

Система вида

(3)

называется системой совместных одновременных уравнений или структурной формой модели.

Система вида

(4)

называется системой независимых уравнений.

Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. Как было сказано ранее, система одновременных уравнений отличается от других видов эконометрических систем тем, что в ней одни и те же эндогенные переменные системы в одних уравнениях находятся в левой части, а в других уравнениях — в правой части.

В отличие от других систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т.к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК. В результате оценки параметров получаются смещенными.

Некоторые из уравнений системы могут быть представлены в виде тождеств, т.е. параметры этих уравнений являются константами.

Структурной формой системы называется представление системы, в котором в уравнениях может присутствовать более одной эндогенной переменной (в стандартной записи это означает, что в правой части уравнений, то есть в качестве регрессоров, имеются эндогенные переменные). Структурная форма системы описывает систему взаимозависимостей между экономическими переменными.

(5)

Перенеся эндогенные переменные в левую часть структурную форму можно представить в следующем матричном виде:

YA=XB+E

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Приведённой (прогнозной) формой системы называется представление системы, в котором в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная, то есть эндогенные переменные выражены через экзогенные:

Y=XП+U

Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

(6)

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.

Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Приведенная модель в полном виде содержит nm параметров. Таким образом, в полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Поэтому n(n-1+m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены через nm параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов. Это называется необходимое условие идентифицируемости структурного уравнения.

Структурное уравнение называется идентифицируемым, если его коэффициенты можно выразить через коэффициенты приведённой формы. Если это можно сделать единственным способом, то говорят о точной индентифицируемости, если несколькими способами — о сверхидентифицируемости. В противном случае оно называется неидентифицируемым.

Сверхидентифицируемость фактически означает, что на коэффициенты приведённой формы наложены некоторые ограничения (сверхидентифицирующие). В полной приведённой форме участвуют все экзогенные переменные и на коэффициенты не налагается никаких ограничений.

Если вышеописанное условие не выполнено, то уравнение неидентифицируемо. Если выполнено со знаком равенства, то, вероятно, точно идентифицируемо, иначе - сверхидентифицируема.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение⁵.

Обозначим Н – число эндогенных переменных в i- ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение. Тогда условие идентифицируемости уравнения может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D+1 < Н – уравнение неидентифицируемо;

D+1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо.

Это счетное правило отражает необходимое, но не достаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК⁶). Алгоритм КМНК включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Другими словами правильная последовательность шагов алгоритма применения двухшагового МНК включает:

1. Преобразование структурной формы модели в приведенную.

2. Процесс оценки параметров приведенной формы с помощью МНК.

3. Получение по соответствующим приведенным уравнениям теоретических значений эндогенных переменных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.

4. Процесс оценки параметров сверхидентифицируемого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных;

Рассмотрим следующую макроэкономическую модель:

где M – доля импорта в ВВП;

N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;

S – число удовлетворенных прошений;

E – фиктивная переменная, означающая, является ли курс доллара искусственно завышенным или нет;

Y – реальный ВВП;

X – реальный объём чистого экспорта;

t – текущий период;

t-1 – предыдущий период.

Проверим данную модель на идентификацию и определим, каким методом могут быть рассчитаны её коэффициенты (в случае, если модель сверх – или точно идентифицируема).

Сначала рассмотрим общие характеристики структурной формы. Здесь три эндогенные переменные – Mt, Nt и St, они стоят в левых частях уравнений. Кроме того, в правых частях находятся четыре предопределенные переменные – одна лаговая (Mt-1) и три экзогенные – Et-1, Yt и Xt. Теперь проверим каждое уравнение.

Уравнение I. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (Mt, Nt и St), но отсутствуют две предопределенные переменные - Yt и Xt. Поэтому Н=3, D=2, и необходимое условие идентификации выполняется, поскольку D+1=H. Это означает, что первое уравнение точно идентифицируемо.

Уравнение II. В этом уравнении присутствуют три эндогенные переменные (Mt, Nt и St), но отсутствуют три экзогенные - Еt-1, Mt-1 и Xt. Поэтому Н=3, D=3, D+1>H и второе уравнение по необходимому условию является сверхидентифицируемым.

Уравнение III. В этом уравнении, как и в других уравнениях, присутствуют все три эндогенные переменные, но отсутствуют три экзогенные - Еt-1, Mt-1 и Yt . Поэтому Н=3, D=3, D+1>H, и третье уравнение системы является сверхидентифицируемым.

Проверим каждое уравнение на выполнение достаточного условия идентификации. Для этого сначала запишем расширенную матрицу системы в виде следующей таблицы:

Уравнение	Mt	Nt	St	Et-1	Mt-1	Yt	Xt
I	-1	b12	b13	b14	b15	0	0
II	b21	-1	b23	0	0	b26	0
III	b31	b32	-1	0	0	0	b37

Как видим, в эту матрицу включены коэффициенты при всех переменных и не включены свободные члены, поскольку они могут быть исключены из системы, если задавать все переменные в отклонениях от среднего значения. Кроме того, здесь все переменные перенесены в правые части уравнений.

Достаточное условие идентификации для соответствующего уравнения будет выполнено, если ранг подматрицы, построенной только из коэффициентов при переменных, отсутствующих в этом уравнении, равен количеству эндогенных переменных в системе минус единица.

Рассмотрим подробно этот процесс для первого уравнения системы. Первому уравнению соответствует первая строка расширенной матрицы, поэтому первую строку не следует включать в подматрицу. Из остальной части расширенной матрицы оставим только столбцы, которые имеют нули в первой строке. Получаем подматрицу:

,

определитель которой не равен нулю, поскольку . Таким образом, ранг подматрицы равен двум, т.е. числу эндогенных переменных в системе минус единица. Достаточное условие идентификации для первого уравнения выполнено.

Аналогично рассмотрим другие уравнения. Подматрица для второго уравнения имеет вид:

.

Её ранг также равен двум, поскольку определитель, составленный, например, из первого и третьего столбцов, очевидно, не равен нулю.

Подматрица для третьего уравнения имеет вид:

.

Она также имеет ранг, равный двум.

Таким образом, достаточное условие идентификации выполнено для каждого уравнения системы. Поскольку среди уравнений системы нет неидентифицируемых, а второе и третье уравнения являются сверхидентифицированными, то и модель в целом сверхидентифицирована. Для определения параметров первого уравнения должен быть применен косвенный МНК (поскольку оно точно идентифицировано), а для других уравнений – двухшаговый МНК.

Приведенная форма модели имеет вид:

Здесь - случайные члены. Как обычно, в правой части приведенной формы стоят только предопределенные переменные. Для определения параметров ПФМ применяется обычный МНК.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК). Непосредственное применение обычного метода наименьших квадратов для оценки уравнений системы (в структурной форме) нецелесообразно, так как в системах одновременных уравнений нарушается важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность факторов. Это приводит к тому, что оценки параметров будут смещёнными и несостоятельными.

Применение косвенного метода наименьших квадратов возможно только при точной идентифицируемости системы. Однако, часто уравнения системы оказываются сверхидентифицированными. В этом случае существуют несколько асимптотически эквивалентных, но разных оценок параметров структурной формы и в общем случае нет критерия выбора между ними.

Список литературы

1. Айвазян С.А. Методы эконометрики: учебник. – М.: Магистр: ИНФРА-М, 2010.

2. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. — М.: Юнити-Дана, 2003-2004. — 311 с.

4. Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: учеб. пособие. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2005. – 208 с.

5. Магнус Я.Р. Эконометрика: Начальный курс: Учебное пособие/ Я.Р.Магнус, П.К. Катышев, А.А.Пересецкий. - М.: Дело, 2005. - 503с.

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с.

7. Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. М.: Экзамен, 2002

8. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

9. Тихомиров Н.П. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа: Учебник/ Н.П. Тихомиров, Т.М. Тихомирова, О.С. Ушмаев. – Москва: Экономика, 2011.

10. Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с

1^Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 78 с.

2^ Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: учеб. пособие. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2005. –163c.

3^ Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. М.: Экзамен, 2002г. -218c

4^ Магнус Я.Р. Эконометрика: Начальный курс: Учебное пособие/ Я.Р.Магнус, П.К. Катышев, А.А.Пересецкий. - М.: Дело, 2005

5^ Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. — М.: Юнити-Дана, 2003-2004.

6^ Тихомиров Н.П. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа: Учебник/ Н.П. Тихомиров, Т.М. Тихомирова, О.С. Ушмаев. – Москва: Экономика, 2011.

Код для цитирования: Скопировать