VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Современные электроэнергетические системы (ЭС) представляют собой сложные, многосвязные, иерархические объекты, функционирующие в условиях переменности их структуры, параметров и режимов работы.

При проектировании и эксплуатации технических систем постоянно приходится решать задачи поиска наилучшего решения из некоторого множества допустимых решений. Такое решение называют оптимальным, а задачи, в которых ищется такое решение -оптимизационными . Для решения оптимизационных задач будущему специалисту необходимо знания основ математического моделирования технических систем, методов решения оптимизационных задач, современного программного обеспечения персональных компьютеров.

Одной из важных оптимизационных задач электроэнергетики является задача распределения компенсирующих устройств в системах электроснабжения. Мы рассмотрим эту задачу в общем виде для наиболее простого случая, когда в электроснабжении имеются только тепловые электростанции, работающие на одном виде топлива.

В существующем электроснабжении необходимо так распределить активную нагрузку между электростанциями, чтобы затраты были минимальными.

Поэтому целью нашего исследования является процесс автоматизации решения задачи оптимального распределения компенсирующих устройств с системах электроснабжения.

Задачи:

• Проанализировать литературу по разделу «Методы оптимизации»;

• Рассмотреть алгоритм решения задачи оптимального распределения компенсирующих устройств в системах электроснабжения;

• Используя программу Excel реализовать автоматическое выполнение алгоритма.

Одним из основных вопросов, связанных с повышением качества электроэнергии в сетях, решаемых как на стадии проектирования, так и на стадии эксплуатации систем промышленного электроснабжения, является вопрос о компенсации реактивной мощности, включающий выбор целесообразных источников, расчет и регулирование их мощности,

Расстановка источников реактивной мощности в схеме электроснабжения называется компенсацией реактивной мощности, а сами источники – компенсирующими устройствами. Подробно вопросы компенсации реактивной мощности рассматриваются в специальных курсах.

Основная идея компенсации реактивной мощности заключается в следующем. Рассмотрим простейшую схему электроснабжения(рис.1), включающую в себя линию с активным сопротивлением R, связывающую источник питания напряжением U и потребитель мощностью P+jQ.

Рис.1. Простейшая схема компенсации реактивной мощности

Потери активной мощности в линии при отсутствии у потребителя компенсирующего устройства (Q_k=0) составляют

P=(P2+Q2)R/U2,

(1)

при установке у потребителя компенсирующего устройства (Q_k0) эти потери уменьшатся до величины

P=(P2+(Q-Qk)2R)/U2,

(2)

Таким образом, компенсация реактивной мощности позволяет уменьшить потери активной мощности в схеме электроснабжения и, следовательно, улучшить технико-экономические показатели этой схемы.

Из выражений (1) и (2) видно, что потери мощности P имеют две составляющие: потери от протекания по линии активной мощности P и потери от протекания по линии реактивной мощности Q или (Q-Q_k). Поскольку компенсация реактивной мощности влияет только на вторую составляющую потерь, в дальнейшем будем рассматривать потери от протекания по линиям только реактивных мощностей.

При проектировании схемы электроснабжения, как правило, минимизируются денежные затраты на эту схему. Снижение потерь мощности за счет установки компенсирующих устройств уменьшает затраты на схему, поскольку каждый потерянный кВт мощности необходимо выработать на электростанциях и, следовательно, затратить на это денежные средства. Однако и компенсирующие устройства требуют денежных затрат.

В связи с этим возникает задача определения оптимальной мощности компенсирующих устройств, отвечающей минимуму суммарных затрат. Такая задача относится к задаче безусловной оптимизации и может быть решена, например, градиентными методами.

Для системы электроснабжения величина суммарной мощности компенсирующих устройств Q_k может быть заданной какими-то техническими условиями. В этом случае заданную мощность Q_k требуется оптимальным образом распределить внутри системы электроснабжения. Это уже задача условной оптимизации и решается, например, методом Лагранжа.

Рассмотрим такую задачу для радиальной схемы электроснабжения (рис.2). Источник питания имеет напряжение U. От этого источника питаются N потребителей с реактивными мощностями Q₁, Q₂,…Qn. Активные сопротивления линий между источником и потребителями составляют R₁,R₂,…Rn. У каждогоi-го потребителя может устанавливаться компенсирующее устройство мощностью Q_ki.

Требуется найти оптимальное распределение между потребителями 1, 2, …n заданной суммарной мощности компенсирующих устройств Q_k. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме.

Подлежащая минимизация целевая функция, представляющая собой потери активной мощности в схеме, имеет следующий вид:

P=n(Qi-Qki)2Ri/U2min. i=1

(3)

Рис.2. Радиальная схема электроснабжения

Относительный минимум целевой функции ищется при ограничении

in=1 Qki=Qk или in=1 Qki-Qk=0.

(4)

Запишем функцию Лагранжа:

L=ni=1(Qi-Qki)2Ri/U2+(ni=1Qki-Qk)min

(5)

Для отыскания минимума функции L вычислим ее частные производные и приравняем их к нулю:

L/Qk1=-2R1(Q1-Qk1)/U2+=0,
L/Qk2=-2R2(Q2-Qk2)/U2+=0,
L/Qki=-2Ri(Qi-Qki)/U2+=0,	(6)
L/Qkn=-2Rn(Qn-Qkn)/U2+=0,
L/=ni=1Qki-Qk=0.

Анализ системы (6) показывает, что оптимальное распределение заданной суммарной величины компенсирующих устройств Q_k в радиальной схеме электроснабжения подчиняется равенству

R1(Q1-Qk1)=R2(Q2-Qk2)=…=Ri(Qi-Qki)=…=Rn(Qn-Qkn).

(7)

Рассмотрим задачу оптимального распределения заданной мощности компенсирующих устройств Q_k между потребителями 1,2, …n в магистральной схеме электроснабжения (рис.3)

Подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид:

P=R1(n1Qi-Qki)2/U2+R2(n2Qi-n2Qki)2/U2+…
…=Ri(niQi-inQki)2/U2+…+Rn(Qn-Qkn)2/U2min	(8)

Рис.3 Магистральная схема электроснабжения

Относительный минимум целевой функции ищется при ограничении

ni=1Qki=Qkили ni=1Qki-Qk=0

(9)

Запишем функцию Лагранжа

L=R1(1nQi-1nQki)2/U2+R2(2nQi-2nQki)2/U2+…

(10)

…+Ri(inQi-inQki)2/U2+…+Rn(Qn-Qkn)2/U2+(1nQki-Qk)min Для отыскания минимума функции L вычислим ее частные производные и приравняем их у нулю: L/Qk1= -a1(1nQi-1nQki)+=0,   L/Qk2= -a1(1nQi-1nQki)- a2(2nQi-2nQki)+=0,   L/Qk3=-a1(1nQi-1nQki)-a2(2nQi-2nQki)-ai(3nQi-3nQki)+=0,   L/Qki=-a1(1nQi-1nQki)-a2(2nQi-2nQki)-…-ai(inQi-inQki)+=0, (11) L/Qk,n-1=-a1(1nQi-1nQki)-a2(2nQi-2nQki)-…-ai(inQi-inQki)-… …-an-1(Qn-1+Qn-Qk,n-1-Qkn)+=0,   L/Qkn=-a1(1nQi-1nQki)-a2(2nQi-2nQki)-…-ai(inQi-inQki)-… …-an(Qn-Qkn)+=0,   L/=n1Qki-Qk=0,где ai=2Ri/U2.   Из 1-го уравнения системы (11) следует, что a1(1nQi-1nQki)= . (12) С учетом этого соотношения из 2-го уравнения системы следует, что (2nQi-2nQki)=0 (13) Подставив соотношения (12) и (13) в 3-е уравнение системы, получим (3nQi-3nQki)=0 (14) И так далее. Из третьего снизу уравнения системы (11) получим, что Qn-1+Qn-Qk,n-1-Qkn=0 (15) Из предпоследнего уравнения системы получим Qn-Qkn=0 или Qn=Qkn (16) Как следует из (16), у последнего n-го потребителя следует установить компенсирующее устройство мощностью, равной реактивной мощности этого потребителя. В таком случае говорят о полной компенсации реактивной мощности потребителя. Из (15), (14) и (13) следует, что у (n-1)-го, … 3-го и 2-го потребителей также следует выполнить полную компенсацию реактивной мощности. Однако при расстановке компенсирующих устройств необходимо учитывать ограничение – последнее уравнение системы (10). Таким образом, в магистральной схеме электроснабжения компенсирующие устройства следует устанавливать в соответствии с условиями полной компенсации реактивной мощности Qki=Qi, начиная от конца магистральной схемы к ее началу (от n-го потребителя к 1-му потребителю), до выполнения условия Qki=Qk,i=1, 2, … n. Если у i-го потребителя это условие выполнилось, то у потребителей 1, 2, … i-1 компенсирующие устройства не устанавливаются. Пример. В существующей схеме электроснабжения (рис.4) требуется определить мощности компенсирующих устройств Qk1 и Qk2 в узлах 1 и 2 исходя из условия минимума суммарных затрат на установку этих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме. Исходные данные: напряжение схемы U=10 кВ; сопротивления линий R1=6 Ом, R2=4 Ом; реактивные нагрузки узлов 1 и 2 Q1=600 квар и Q2=800квар; удельные затраты на установку компенсирующих устройств z0=0.5 у.е./квар; удельные затраты на покрытие потерь активной мощности c0=10 у.е./кВт.

Рис.4. Схема электроснабжения

Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные затраты на установку компенсирующих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме, имеет следующий вид

Z=z₀(Q_k1+Q_k2)+a₁(Q₁+Q₂-Q_k1-Q_k2)²+a₂(Q₂-Q_k2)²min,

где a₁=R₁c₀10^-3/U²=0,0006;

a₂=R₂c₀10^-3/U²=0,0004.

Введение числового коэффициента 10^-3 необходимо для приведения всех составляющих целевой функции к одной размерности (у. е.).

Для решения задачи выберем метод покоординатного «спуска». Определим частные производные целевой функции Z по переменным Q_k1 и Q_k2:

Z/Qk1=z0-2a1(Q1+Q2-Qk1-Qk2);
Z/Qk2=z0-2a1(Q1+Q2-Qk1-Qk2)-2a2(Q2-Qk2).

Примем исходное приближение: Q_k1⁰=0 Q_k2⁰=0. Для этих значений вычислим значения целевой функции и ее частных производных:

Z⁰=0.5(0+0) + 0.0006(600+800-0-0)²+0.0004(800-0)²=1432 у.е.;

Z/Q_k1=0.5 -2*0.0006(600+800-0-0) = -1.18;

Z/Q_k2=0.5-2*0.0006(600+800-0-0)-2*0.0004(800-0) = -1.8.

Очевидно, что в направлении переменно Q_k2 целевая функция Z убывает сильнее, чем в направлении переменной Q_k1, поскольку Z/Q_k2Z/Q_k1.

В направлении переменной Q_k2 и начнем «спуск».

Примем величину шага =400 квар. Первое приближение (первый шаг) будет Q_k1¹=0, Q_k2¹=400 квар. Значение целевой функции Z¹=0.5(0+400)+0.0006(600+800-0-400)2+0.0004(800-400)2=864 у.е.

Второй шаг: Q_k1²=0, Q_k2²=800 квар. Значение целевой функции Z²=616 у.е.

Третий шаг: Q_k1³=0, Q_k2³=1200 квар. Значение целевой функции Z₃=689 у.е.

Очевидно, что «спуск» по координате Q_k2 целесообразно прекратить, поскольку Z³Z², и вернуться к значениям переменных Q_k1²=0, Q_k2²=800 квар, полученным на втором шаге.

Выполним новый третий шаг =400 квар. в направлении другой переменной Q_k1: Q_k1³=400 квар, Q_k2³=800 квар. Значение целевой функции Z³=624 у.е. Движение в направлении переменной Q_k1 нецелесообразно, поскольку Z³Z².

Точка с координатами Q_k1=0, Q_k2=800 квар. находится в окрестности минимума целевой функции Z. При принятой длине шага =400 квар. Более точное решение получено быть не может.

Для автоматизации процесса решения задачи оптимального распределения компенсирующих устройств в системах электроснабжения мы будем использовать программу Microsoft Office Excel 2010. Данная программа позволяет решать задачи оптимизации, используя функцию “Поиск решения”, которая позволяет в считанные секунды находить оптимальные решения достаточно сложных моделей, без знания алгоритмов, макросов, формул и длительных рутинных итераций.

Рабочее поле ввода исходной информации представлено на рисунке 5. В ячейках В2..В10 находится числовая исходная информация. В ячейку F7 вводится выражение для вычисления значения целевой функции =B7*(F2+F3)+B9*(B2+B3-F2-F3)^2+B10+(B3-F3)^2.

Рис 5. Рабочее поле исходной информации

Далее в диалоговом окне «Поиск решения» (рис 6) устанавливается адрес ячейки целевой функции.

Рис. 6. Диалоговое окно «Поиск решения»

Отмечается, что ищется минимальное значение целевой функции.

Указываются адреса ячеек с искомыми переменными F2 и F3. В качестве ограничения вводятся граничные условия неотрицательности искомых переменных Q_k1≥0 и Q_k2≥0.

В диалоговом окне «Параметры поиска решения» следует снять флажок «v» с позиции «Линейная модель», поскольку решается нелинейная задача.

Результат решения нелинейной задачи, выданный компьютером на рабочее поле, представлен на рисунке 7.

Рис. 7. Результат решения задачи.

Результаты решения следующие:

Q_k1=183 квар, Q_k2=800 квар, Z=596 у.е.

Это решение более точное, значение целевой функции на 28 у.е. меньше, чем в методе покоординатного спуска с постоянным шагом.

Т.к. программа MS Excel доступна многим пользователям и широко применяема, то разработанный нами алгоритм автоматизированного решения могут использовать все те, кто сталкивается с необходимостью расчета оптимального распределения активной мощности в энергосистеме.

Литература:

1. Костин,В.Н. Оптимизационные задачи электроэнергетикитекст: учебное пособие/В.Н. Костин. - СПб.: СЗТУ, 2003. - 120с.

2. Поляхов,Н.Д. Оптимизация распределения потоков мощности в энергосистеме с помощью генетических алгоритмовЭлектр. ресурс//Сов. проблемы науки и образования.-2012.-№3.

URL: http://www.science-education.ru/103-6523

Код для цитирования: Скопировать