VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В настоящее время выделяют два взгляда на математику и ее роль среди наук. Сторонники первого взгляда отмечают, что математика - это нечто самостоятельное и самобытное, вторые это также признают, но в основном считают, что математика – это инструмент, владение которым полезно и необходимо. Несомненно, данная наука имеет определенное концептуальное значение, но для специалистов в сфере экономики и управления она является инструментом анализа, организации и управления.

Зачастую приходится принимать решения в условиях неопределенности при проведении экономического анализа. Результаты работы предприятия определяются действиями, предпринимаемыми соперниками. Такие ситуации называют конфликтными. Научные основания и методы решения задач с конфликтными ситуациями определяет теория игр.

Теория игр – это раздел математики, предметом которого является анализ принятия оптимальных решений в конфликтных условиях. Теория игр возникла из задач классической теории вероятностей и сформировалась в самостоятельный раздел в 1945-1955 годах. Таким образом, теория игр – это один из новейших разделов математики. Наиболее полное содержание идей и методов теории игр впервые появилось в 1944 году в работе «Теория игр и экономическое поведение» (Theory of Games and Economic Behavior) математика Дж. фон Неймана и экономиста О. Моргенштерна. Фон Нейман опубликовал несколько работ по теории игр в 1928 г. и 1935 г.; другим представителем теории игр является математик Э. Борель. Также, некоторые фундаментальные идеи были предложены и А. Вальдом, который заложил основы нового подхода к теории принятия решений.

При решении задач необходимо полное знание правил игры (т.е. формулирование условий), установление количества игроков, выявление их возможных стратегий, возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш). Важным элементом является – стратегия, т.е. действия игрока, которые определяются в зависимости от ситуации игры. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным. Важными являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отражение в определении решения игры: стратегии Р” и Q” первого и второго игрока соответственно называются их оптимальными стратегиями, а число V - ценой игры, если для любых стратегий Р первого игрока и любых стратегий Q выполняются неравенства: M(P,Q”)≤V≤M(P”,Q), где М(Р,Q) означает математическое ожидание выигрыша (средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым игроками избраны соответственно стратегии Р и Q.

По характеру взаимодействия игры подразделяются на:

1) бескоалиционные (некооперативные): игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции (целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша);

2) коалиционные (кооперативные) - игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками. Исходом такой игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений

В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.

В классической теории игр кооперативные и бескоалиционные игры объясняются в значительной степени по-разному. Нэш – первым ввел различие и дал понятие кооперативным играм. Кооперативные игры – это игры, допускающие как свободный обмен информацией, так и принудительные соглашения между игроками, в отличие от бескоалиционных игр, которые не допускают ни свободного обмена информацией, ни принудительных соглашений.

Однако бинарное различие, построенное на одновременном выполнении двух критериев, логически малоудовлетворительно. Невозможно определить одну категорию как класс всех объектов, обладающих обоими свойствами S и D, а другую категорию как класс всех объектов, не обладающих ни одним из этих свойств. Если это сделать, как же быть с объектами, обладающими свойством S, но не D, и с объектами, обладающими свойством D, но не S?

Лучше использовать различие по одному критерию, то есть определять кооперативные игры - как игры, допускающие принудительные соглашения, а бескоалиционные игры - как игры, не допускающие этих соглашений. В большинстве случаев значение имеет допустимый объем обмена информацией между игроками.

Рассмотрим игру на примере задачи прогнозирования площади посевов в зависимости от погодных условий.

ТВ «Агрокомплекс», которое владеет ограниченным участком земли, может посадить на нем одну из трех зерновых культур: пшеницу, рис, гречиху. Урожай этих культур зависит от погодных условий, которые могут быть засушливыми, нормальными или дождливыми.

Агроном имеет информацию об урожайности этих культур при трех различных состояниях погоды, которая отражена в матрице H:

Виды культур	Возможные состояния погоды			Цены (X)
	Засуха (D)	Нормальная (E)	Дождливая(F)
Пшеница (A)	22,7	40,1	17,0	107,17
Рис(B)	10,5	59,3	10,5	234,22
Гречиха(C)	31,4	47,7	36,6	167,578

Тогда матрица H, характеризующая возможные доходы, которые может получить агроном от каждой из культур при различных погодных условий, будет:

Виды культур	Возможные состояния погоды
	D	E	F
A	2432,76	4297,5	1821,9
	2576,42	13889,25	2459,3
C	5261,7	7993,1	6133,1

Необходимо определить пропорции, в которых агроном должен засеять имеющийся участок земли, чтобы максимизировать свой доход вне зависимости от того, какие погодные условия будут реализованы.

Данная задача может быть сведена к некооперативной игре. В данном случае в качестве первого игрока выступает агроном, а в качестве второго – природные условия.

Агроном имеет в своем распоряжении три чистые стратегии:

-первая чистая стратегия предполагает, что вся земля будет засеяна культурой A;

-вторая чистая стратегия предполагает, что вся земля будет засеяна культурой B;

-третья чистая стратегия предполагает, что вся земля будет засеяна культурой C;

Как игрок, природа может также использовать три возможные стратегии:

-засушливую погоду, которая соответствует первой чистой стратегии D;

-нормальную погоду, которая соответствует второй чистой стратегии E;

-дождливую погоду, которая соответствует третьей чистой стратегии F;

Решение.

1.Проанализируем матрицу игры H:

Она не может быть упрощена.

2. Проверим, имеет ли данная игра седловую точку. Найдем верхнюю и нижнюю цену игры:

V_^=max_i min_j h_ij=5261,7; V^{^}= min_j max_i h_ij=5261,7

Так как нижняя цена игры равна верхней цене игры, то конечная некооперативная игра имеет седловую точку и решается в чистых пропорциях.

Можно сделать вывод, что засевая весь участок гречихой, ТВ «Агрокомплекс» будет иметь прибыль не менее 5261,7 рублей вне зависимости от погодных условий.

Применительно к экономике, теория игр изучает функционирование экономических систем в условиях «несовершенного рынка». Игровые модели олигополий и аукционов являются примерами успешного применения игрового подхода. Решение проблем ассиметричной информированности участников экономической системе также является важным достижением теории игр.

Список используемой литературы

1. Бондаренко В.А., Мамаев И.И., Сахнюк П.А., Сахнюк Т.И. Матемитическая модель расстановки игроков в баскетбольной команде. /В сборнике: Экономические, инновационные и информационные проблемы развития. 2014. С. 69-74.

2. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования /Сборник: Аграрная наука, творчество, рост. Ставрополь. 2014. С.329-332.

3. Коннова Д.А., Леликова Е.И., Мелешко С.В. Взаимодействие математики с экономикой //

Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 159-161.

4. Кубанова Д.М., Лорсанова Х.А., Невидомская И.А. Особенности применения теории игр в задачах экономического содержания // Theoretical & Applied Science. 2013.№5(1). С. 47-50.

5. Сизова С.А., Мурдугова В.Ю., Мелешко С.В. Линейное программирование как область математического программирования при решении экономических задач // Theoretical & Applied Science. №6 (2). 2013. С. 16-20.

Код для цитирования: Скопировать