VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В математическом анализе немаловажное место занимает логарифмическое дифференцирование. В данной статье мы постараемся выявить взаимосвязь экономического процесса и логарифмического дифференцирования, как метода математического анализа. Логарифмическое дифференцирование является наиболее оптимальным математическим методом для экономического анализа, в тех случаях, когда необходимо преобразовать функцию, выражающую зависимость между стоимостью общих затрат на производство и стоимостью выпускаемой продукции. Формированию дифференциального исчисления как прикладного, а позднее и научного метода, предшествовало появление стройной философской теории, созданной Николаем Кузанским.

Также существенный вклад в развитие основ дифференциального исчисления внесли французские ученые П. Ферма (1601 – 1665) и Р. Декарт (1596 – 1650), а в XVII веке И. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи механики, связанные с нахождением мгновенной скорости.

Основываясь на том, что потребитель должен поступать рационально, экономист определяет оптимальное соотношение изменений благ и издержек, при котором данные предельные величины равны. Основной задачей, как микро, так и макроэкономики являются выявление таких закономерностей и зависимостей, разработка наилучшего плана действий и другое.

Чтобы понять роль логарифмического дифференцирования, для начала рассмотрим такое понятие как дифференцирование. В математике дифференцированием называется процесс нахождения производной. Но иногда возникают ситуации, когда процесс нахождения производной достаточно сложен. Чтобы его облегчить сложные функции предварительно логарифмируют, в этом и заключается суть логарифмического дифференцирования. Данный метод является наиболее оптимальным при нахождении производной произведения нескольких функций или их участки, а также при дифференцировании выражений, имеющие корни из дробей (функций),

Рассмотрим метод более детально. Пусть дана функция y=fx. Прологарифмируем правую и левую часть.

Получим:

lny =lnf(x)

Затем продифференцируем данное выражение как сложную функцию, с учетом того, что y – это функция отx

(lny)` =(lnf(x))` 1y y`(x)=lnfx)`

В результате искомая производная равна y`= ln(fx)`

Производная такого вида называется логарифмической производной, а процесс её нахождения логарифмическим дифференцированием. Рассмотрим конкретный пример. Необходимо найти производную функции

y= (x+1)2*x-1(x+4)3*ex .

Прологарифмировав правую и левую часть, получаем

lny=2ln(x+1)+12 lnx-1-3lnx+4-x;

Дифференцируем данное выражение 1yy`=2x+1+12(x-1)-3x+4-1,

отсюда получаем y`=y(2x+1+12x-1-3x+4-1)

В некоторых функциях, например как степенно-показательных, производная вычисляется только методом логарифмического дифференцирования. Данный метод также применяется для вычисления в тех случаях, когда аналитическое выражение функции включает несколько множителей.

Как говорилось ранее, логарифмическое дифференцирование имеет экономический смысл. Заключается он в том, что производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени. Иными словами, производная логарифмической функции (lny)`=y`y, где y=u` обозначается логарифмической производной, или же относительной скоростью изменений функции или темпом изменения функции. Если данный темп будет положительным, то скорость изменения увеличивается, если же отрицательным, то скорость сокращается.

Рассмотрим это на примере. Производительность труда рабочих предприятия может быть задана следующим уравнением

y= - 56t2+ 152t2+100t+65 , 1≤t≤8, где t - рабочее время в часах. Необходимо вычислить темп и скорость изменения производительности труда через полтора часа после начала работы и за полчаса до ее начала, при t1 = 1, t2 = 7

Производная выражает производительность труда

y`t= -52t2+15t+100, а темп изменения производительности и скорость – соответственно производной u" (t) и g'(t) и логарифмической производной (lng(t))`.

g` t = -5t+15 ( ед. час)

(lng t)`=g` tg t=-5t+15 -52t2+15t+100=2t-6t2-6t-40(ед. час)

Если t1 = 1 , то g 1=112,5(ед. час);

g` 1=10( ед. час 2); Tg1=0,09

Если t2 = 7, то g 7=82,5(ед. час);

g` 7=-20( ед. час 2); Tg7= -0,24(ед. час);

Очевидно, что в конце рабочего дня производительность труда резко снижается, а изменение с положительного знака на отрицательный означает то, что возрастание производительности труда в начале рабочего дня сменяется ее уменьшением в последние часы.

Подводя итог, можно сказать, что логарифмическое дифференцирование играет очень важную роль, как в математическом анализе, так и в исследовании различных экономических явлений и процессов.

Список используемой литературы:

1. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Дифференциальное исчисление в задачах экономики//Аграрная наука, творчество, рост: материалы Международной научно-практической конференции. Т.1. Перспективы развития учетно-аналитической работы на предприятиях различных отраслей экономики (Секция факультета «Учетно-финансовый»). Ч.2./Сб. науч. тр. -Ставрополь: «АГРУС» СтГАУ, 2013. -С. 263-265.

2. Попова С.В., Смирнова Н.Б. О прикладной направленности математики в высшей школе.//Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: сб. научных статей по материалам Международной НПК/Ставрополь: АГРУС Ставропольского ГАУ, 2013. С. 260-264.

3. Гулай Т. А., Невидомская И. А., Мелешко С. В. Анализ и оценка приоритетности разделов дисциплины «Математический анализ», изучаемой студентами инженерных направлений//European Social Science Journal = Европейский журнал социальных наук. 2013. № 8-2 (35). С. 109-115.

4. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование профессиональной подготовки экономистов через направленность содержания математического образования//Аграрная наука, творчество, рост. 2013. С. 252-254.3.

5. Кочержова Е.Н., Боташева Л.Р., Цыплакова О.Н. Роль производной в экономике// Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. С. 72-74.

6. Бондаренко В. А., Цыплакова О. Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа//Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: матер. 76-й научно-практической конференции. -Ставрополь: Альфа-Принт, 2012. С. 280-283.

7. Донец З.Г., Мамаев И.И., Шибаев В.П. Учебная организация как целостная модель организации обучения студентов на интегративной основе//Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики. Сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. -Ставрополь, из-во «АГРУС», 2012г. -С. 40-48.

Код для цитирования: Скопировать