VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Математика всегда была основой точного естествознания, а вместе с механикой является фундаментом всех технических наук, основным инструментом в познании общих закономерностей мироздания.

Теоретическая механика рассматривается с разных точек зрения. С одной стороны - это часть теоретической физики, изучающая математические методы классической механики, альтернативные прямому применению законов Ньютона (так называемая аналитическая механика). С другой стороны – это набор физико-математических методов, облегчающих расчёты механизмов, сооружений и различных конструкций. Её также можно рассматривать как часть естествознания, использующую математические методы, имеющую дело не с самими реальными материальными объектами, а с их моделями.

Моделями теоретической механики являются материальные точки и их системы, абсолютно твёрдые тела и их системы, деформируемые сплошные среды. Эти модели исследуются в таких разделах теоретической механики, как кинематика, статика, динамика. Исследования моделей производятся с помощью таких разделов математики, как векторное исчисление, дифференциальная геометрия, математический анализ, особенно дифференциальные уравнения, вариационное исчисление.

Для описания положения и движения материальных объектов в механической системе используется векторная алгебра: каждый объект задаётся радиус-вектором, а вся механическая система – совокупностью векторов. В дальнейшем положение тела относительно начала отсчета определяется по положению какой-либо его точки, фиксированной в теле, по положениям остальных точек тела относительноэтой фиксированной точки и по угловым параметрам ориентации или по матрице ориентации тела относительно абсолютного пространства. Использование матриц приводит к применению законов линейной алгебры. Движение материальной точки наиболее удобно описывать такими вектор-функциями (законами), которые имеют непрерывные вторые производные по времени, что заставляет применять такой раздел математики, как дифференциальная геометрия, который подразумевает хорошее знание, как геометрии, так и математического анализа.

Рассматривая кинетическую энергию механической системы, необходимо владеть навыками вычисления частных производных функций нескольких переменных, составлять из них матрицы, выделять в записи формул кинетической энергии линейные и квадратичные формы.

В процессе нахождения работы системы сил при действительных линейных перемещениях механической системы задействуется интегральное исчисление (чаще всего вычисляется криволинейный интеграл).

Все выше названные разделы математики в основном задействованы для теоретического описания процессов, на практике чаще используются уже выведенные формулы, как, например, в классической задаче теоретической механики.

Пусть механическая система, изображённая на рисунке, состоит из катков (или катка и подвижного блока) 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней м, м и радиусом инерции относительно оси вращения, блока 4 радиуса м и грузов 5 и 6. Тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 - равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и один из катков); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости .

Под действием силы Н, зависящей от перемещения точки её приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивления (от трения в подшипниках). Необходимо определить значение линейной скоростив тот момент времени, когда перемещение станет равным м. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями, катятся по плоскостям без скольжения.

По условию .

Искомую скоростькатка 1 находим с помощью теоремы о Сумме кинетической энергии системы . Так как движения происходят из состояния покоя, то кинетическая энергия в системе в начале движения. Кинетическая энергия системы будет равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему в момент, когда система пройдет заданные расстояния.

Кинетическая энергия груза 5 ,движущегося поступательно со скоростью равна.

Кинетическая энергия катка 2, участвующего в плоском движении составит:,

где - угловая скорость катка в этом движении, показывающая связь криволинейных величин с линейными величинами (выводится с помощью дифференциальной геометрии).

Скорость катка 2 определяется по формуле:.

Величина - момент инерции катка 2.

Следовательно, кинетическую энергию катка 2 можно определить следующим образом: .

Кинетическая энергия ступенчатого блока, вращающегося с угловой скоростью , можно установить с помощью формулы:

, где - момент инерции ступенчатого шкива 3.

Следовательно,.

Кинетическая энергия составит .

Находим работу внешних сил, приложенных к системе, при которой груз 5 сместится на расстояние .

Работа силы на этом перемещении определяется с помощью интеграла:

.

Работа силы тяжести груза 5 определим с помощью соотношений в прямоугольном треугольнике с использованием тригонометрических функций углов:

.

Аналогично определяется работа силы трения груза 5 на наклонную плоскость:

.

Работы сил равны нулю, так как они перпендикулярны перемещению.

Работы сил равны нулю, так как они приложены к неподвижной точке.

Работа момента сил сопротивления, приложенного к ступенчатому блоку, составит:

, где раз, тогда .

Работа сил упругости пружин

, где , тогда . Отсюда .

Получим , и окончательно .

Окончательно, линейная скорость катка 1будет равна: .

Решение задачи можно выполнять по определённой схеме, используя соответствующие формулы теоретической механики. Но для более глубокого понимания исследуемого движения механической системы нужно не только знать эти формулы, но и представлять, как они получены, что приводит к необходимости привлечения серьёзного математического аппарата, умению пользоваться им, применять в непривычных сочетаниях.

Список использованной литературы

1. Попова С.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Крон Р.В. Агроинженерия (электронный учебно-методический комплекс) // Международный журнал экспериментального образования. 2009. № S4. С. 6-7.

2. Попова С.В., Крон Р.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Тынянко Н.Н. Комплект рабочих тетрадей по курсу высшей математики для инженерных специальностей // Международный журнал экспериментального образования. 2009. № S4. С. 14 -15.

3. Попова С.В., Смирнова Н.Б.О прикладной направленности математики в высшей школе // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: сб. научных статей по материалам Международной науч.-практ. конф. / Ставрополь: АГРУС Ставропольского ГАУ, 2013. С. 260-264.

4. Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. Математика (учебное пособие) // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 114-115.

5. Лиханос В.А., Бобрышов А.В., Кожухов А.А.Формирование взаимосвязи общетехнических дисциплин при изучении курса механики /Инновационные технологии современного образования. 2013. С. 92-94.

6. Атанов И.В., Капустин И.В., Никитенко Г.В., Скрипкин В.С. Межпредметные связи в учебном процессе высшего учебного заведения // Современные проблемы науки и образования. 2013. № 6. С. 355.

7. Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. Линейная алгебра (учебное пособие) // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 115.

8. Смирнова Н.Б., Нанаян С.С. Интегрирующая роль математики в современном мире // Культура и общество: история и современность материалы II Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции.под редакцией: Колосовой О.Ю., Гударенко Р.Ф., Ряснянской Н.А., Красиковой Е.А. 2013. С. 164-167.

9. Котова Т.Н., Хачатурян Р.Е. Формирование профессиональной компетенции студентов технических вузов на основе междисциплинарной интеграции. // Сборники конференций НИЦ Социосфера. 2014. № 7. С. 53-57.

Код для цитирования: Скопировать