VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Прогнозирование спроса населения на ту или иную продукцию тесно связано с экономическими, социальными, демографическими и научно-техническими аспектами. Платежеспособный спрос населения может принимать разнообразные формы, описание которых происходит с помощью методов математического аппарата.

Например, изучения цен спроса и предложения на какую-либо продукцию или услугу происходит с помощью теории дифференциальных уравнений.

Под дифференциальным уравнением будем понимать уравнение, которое связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно. Порядком дифференциального уравнения является порядок наивысшей производной.

Одной из моделей, описывающей формирование равновесия и изучающей динамику спроса и предложения на основе теории дифференциальных уравнений, является паутинообразная модель.

Рассмотрим паутинообразную модель с запасами товаров, где от величины запаса зависит скорость изменения цены P. Таким образом: D - спрос, P – цена, S - предложение, равновесная цена и равновесный объем находятся из условия равенства спроса и предложения . Учитывая, что спрос и предложение – линейные функции цены, а именно

а – постоянная, выражающая скорость изменения P при изменении запасов товара, что определяется скоростью реакции, получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс изменения цены:

.

В качестве частного решения возьмем постоянную, которая представляет цену равновесия: ,

Тогда отклонение удовлетворяет однородному уравнению

Следующим действием найдем общее значение уравнения. Обозначим в уравнении неизвестную, Заменив на . Имеем характеристическое уравнение: . Тогда выражение (b-a) будет положительным при условии: а0, a >0.

Если , тогда характеристическое уравнение имеет корни . Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид: , где С и – произвольные постоянные, определяющиеся единственным образом, при заданных начальных условиях. Так, добавив , получаем искомый закон изменения цены во времени: .

Приведем пример. Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение Sтовара в текущем периоде на основе цены p, которая была установлена в предшествующий период. Спрос d на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде.

Таким образом, можно говорить о запаздывании предложения от цены, так как решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, а производственный цикл имеет определенную продолжительность. В связи с этим, предложение, соответствующее данному решению, появится на рынке по окончании этого цикла.

Если спрос и предложения линейно зависят от p, то динамика цены описывается следующими уравнениями: , , которые описывают колебательный характер.

При этом, если , последовательность цен сходится к равновесному состоянию.

При значения чередуются вокруг равновесного значения .

Если является неустойчивым равновесием. В результате чего бесконечно возрастающих колебаний не наблюдается. Это происходит в связи с тем, что при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными.

Таким образом, паутинообразная модель, показывающая колебания в простейшей динамической модели, в результате которых формируется равновесие. Данная модель отражает формирование равновесия в отрасли с фиксированным циклом производства с помощью дифференциальных уравнений.

Список используемой литературы:

1. Агафонова Н.П., Орехова Н.В., Мелешко С.В. Применение метода наименьших квадратов для определения уравнений кривых спроса и предложения и состояния рыночного равновесия. // Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 136-138.

2. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению. Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита. / Ежегодная 75-ая научно-практическая конференция. 2011. С. 124-127.

3. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Визуализация решений дифференциальных уравнений в среде SIVULINK системы MATLAB. // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем. 2012. С. 129-131.

4. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Дифференциальное исчисление в задачах экономики. // АГРАРНАЯ НАУКА, ТВОРЧЕСТВО, РОСТ. 2013. С. 266-268.

5. Невидомская И.А., Кочарян А.Г. Применение метода дискриминантного анализа для прогнозирования финансовой устойчивости предприятия. // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 7. С.80-81.

6. Невидомская И.А., Якубова А.М. Применение факторного анализа при исследовании экономических процессов. // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. С. 81-83.

7. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Использование дифференциальных уравнений в построении математических моделей в экономических процессах. // АГРАРНАЯ НАУКА, ТВОРЧЕСТВО, РОСТ. 2013. С.280-283.

Код для цитирования: Скопировать