VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Для кривых второго порядка возникает вопрос, имеющий практическое значение: действительны ли для параболы, эллипса и гиперболы метрические соотношения подобные тем, которые существуют для окружности (свойства касательной и секущей и другие).В данной статье покажем, что такие метрические соотношения существуют. I. Парабола Лемма 1.Пусть точка лежит на хорде параболы или на ее продолжении и, кроме того, прямая параллельна оси , причем точка лежит на параболе. Тогда , (1) где - угол, составленный хордой с горизонталью. Доказательство. Решим сначала графическим путем квадратное уравнение . Для этого построим на одном чертеже графики функции и . Очевидно, абсцисса и точек пересечения и параболы с прямой будут корнями данного уравнения.Сделав затем некоторые дополнительные построения, найдем из чертежа (рис.1): и . Далее, перемножая и , получим: (2) Кроме того, нетрудно заметить, что (3)

Из равенств (2) и (3) следует (1).Аналогичным доказывается лемма и в том случае, когда точка будет внешней по отношению к параболе (рис.2)

Рис.1 Рис.2

II. Эллипс Лемма 2. Пусть- вертикальная или горизонтальная и - наклонная хорды эллипса и, кроме того, - точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их. Тогда , (4) где - угол, составленный наклонной хордой с осью , и равно или , в зависимости от того, вертикальной или горизонтальной будет хорда . Доказательство. Пусть - уравнение прямой, проходящей через концы наклонной хорды. Решив его совместно с уравнение эллипса, получим квадратное уравнение: Очевидно, что в данном случае и Далее, из чертежа (рис.3) найдем:

, или (5) Замечая, что и получим: (6) Таким образом, принимая во внимание равенства (5) и (6), будем иметь

(7) В том случае, когда хорда горизонтальна, а также тогда, когда точка будет внешней по отношению к эллипсу (рис.4), теорема доказывается по аналогии. Частный случай: при из формулы (7) следует соотношение: . (8)

y y

x₁ 0 B x₁ D С1 В

0 x A

A D

Рис.3 Рис.4

III.Гипербола Лемма 3.Пусть - вертикальная или горизонтальная и _{-наклонная хорды гиперболы и, кроме того, - точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их. Тогда:, (9) где, и имеют тот же смысл, что и для эллипса; при этом знак плюс или минус в правой части равенства берется в соответствии с тем, внутренней или внешней будет хорда по отношению к гиперболе. Доказательство леммы (3) аналогично тому, что мы имели для эллипса. Частный случай: если хорда параллельна оси и хорда параллельна оси и, кроме того, - точка пересечения одной из них с продолжением другой (рис.5 и 6), то из леммы (3) можно получить соотношение (10)}

_yyB

_xx

_{Рис. 5 Рис.6}

_{Так как через точку , не лежащую на кривой, можно провести всякий раз по две прямых (две хорды, или две секущих, или секущую касательную), составляющих с осью одинаковые углы, то из рассмотренных выше лемм, а также их частных случаев, непосредственно вытекают следующие теоремы. Теорема I. Произведения отрезков хорд кривой второго порядка, проходящих через данную точку и, составляющих с ее осью одинаковые углы, равны между собой. Теорема II. Произведения секущих кривой второго порядка, проходящих через данную точку и составляющих с ее осью одинаковые углы, на их внешней части, равны между собой.}

_{Теорема III. Если секущие и касательные кривой второго порядка, проведенные из данной точки, составляют одинаковые углы с ее осью, то квадрат касательной будут равен произведению секущей на ее внешнюю часть.}

_{Теорема IV. Если хорда центральной кривой параллельна оси и хорда параллельна оси и, кроме того, - точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их, то . В частности, для окружности и равносторонней гиперболы будем иметь: . Отметим также, что теоремы I, II и III (с учетом того, что касательная если предельное положение секущей) можно объединить в одну теорему: если и - хорды кривой второго порядка, составляющие с ее осью одинаковые углы, и является точкой пересечения этих хорд или лежащие на их продолжении, то для полученных при этом отрезков имеет место равенство.}

_{Список использованной литературы :}

1. _{Погорелов А.В. Основания геометрии М.: Наука, 1979, 151 с}

2. _{Мамаев И.И., Котова С.В. Окружность в абсолютной геометрии II Инновация в науке: пути развития: материалы международной заочной научно-практической конференции/ Чебоксары: учебно-методический центр, 2014, с 326-331}

3. _{Мамаев И.И. , Бондаренко В.А., Шибаев В.П. Элементы теории математических доказательств в преподавании математических дисциплин в вузе//Ежегодная 77 научно-практическая конференция «Аграрная наука- Северо-Кавказскому федеральному округу», Ставрополь, СтГАУ , 2013, с 482-486}

4. _{Донец З.Г., Мамаев И.И., Шибаев В.П., Учебная дисциплина как целостная модель организации обучения студентов на интегративной основе // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики, Ставрополь, СтГАУ, 2012, с 40-47}

5. _{Литвин Д.Б., Яновский А.А., Донец З.Г. Интерполяция и аппроксимация данных в MATLAB // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона, Ставрополь, СтГАУ, 2013, с 97-99}

6. _{Серикова В.С., Родина Е.В. Кривые второго порядка // Современные наукоемкие технологии М: Академия естествознания, №5, 2014, с 175-177}

7. _{Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья.- 2013 - №1(9) - С. 6-10}

Код для цитирования: Скопировать